[30] Diga se cada uma das sentenças abaixo é verdadeira ou falsa, apresentando uma justificativa caso ela seja verdadeira ou um contra-exemplo caso ela seja falsa.
(a) Se A é uma matriz simétrica positiva definida, então todos os menores principais de A são maiores ou iguais a zero.
(b) Se A é uma matriz simétrica negativa definida, então todos os menores principais de ordem ímpar de A são menores ou iguais a zero e todos os menores principais de ordem par de A são maiores ou iguais a zero.

Passo 1

O enunciado pede para classificar como verdadeiras ou falsas duas afirmações sobre matrizes simétricas definidas e os sinais de seus menores principais. Vamos precisar dos conceitos de matriz simétrica definida positiva e negativa, do fato de que toda submatriz principal de uma matriz definida herda a propriedade de definição, e do comportamento do determinante ao multiplicar a matriz por -1.

Passo 2

(a) Seja A simétrica e positiva definida. Tome qualquer submatriz principal AI de ordem k. Para qualquer vetor não nulo xinR^k, estenda-o a yinR^n colocando zeros nas coordenadas não em I. Então
x^T AI x ;=; y^T A y ;>;0,
pois A é positiva definida. Logo AI também é positiva definida e, em particular, det(AI)>0. Isso mostra que todo menor principal de A é estritamente positivo, portanto certamente maior ou igual a zero.

Passo 3

(b) Seja A simétrica e negativa definida. Então -A é simétrica e positiva definida. Pelo argumento do passo anterior, todo menor principal de -A é estritamente positivo. Mas, se AI é um menor principal de ordem k, vale
detl(-AIr) ;=;(-1)^kdet(AI);>;0
Assim, quando k é par, det(AI)>0; quando k é ímpar, det(AI)<0. Logo todos os menores principais de ordem par são maiores ou iguais a zero (na verdade >0) e os de ordem ímpar são menores ou iguais a zero (na verdade <0).

Resposta

(a) Verdadeira.
(b) Verdadeira.

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