[30] Diga se cada uma das sentenças abaixo é verdadeira ou falsa, apresentando uma justificativa caso ela seja verdadeira ou um contra-exemplo caso ela seja falsa.
(a) Se
é uma matriz simétrica positiva definida, então todos os menores principais de
são maiores ou iguais a zero.
(b) Se
é uma matriz simétrica negativa definida, então todos os menores principais de ordem ímpar de
são menores ou iguais a zero e todos os menores principais de ordem par de
são maiores ou iguais a zero.
(a) Se
(b) Se
Passo 1
O enunciado pede para classificar como verdadeiras ou falsas duas afirmações sobre matrizes simétricas definidas e os sinais de seus menores principais. Vamos precisar dos conceitos de matriz simétrica definida positiva e negativa, do fato de que toda submatriz principal de uma matriz definida herda a propriedade de definição, e do comportamento do determinante ao multiplicar a matriz por
.
Passo 2
(a) Seja
simétrica e positiva definida. Tome qualquer submatriz principal
de ordem
. Para qualquer vetor não nulo
, estenda-o a
colocando zeros nas coordenadas não em
. Então
pois
é positiva definida. Logo
também é positiva definida e, em particular,
. Isso mostra que todo menor principal de
é estritamente positivo, portanto certamente maior ou igual a zero.
Passo 3
(b) Seja
simétrica e negativa definida. Então
é simétrica e positiva definida. Pelo argumento do passo anterior, todo menor principal de
é estritamente positivo. Mas, se
é um menor principal de ordem
, vale
Assim, quando
é par,
; quando
é ímpar,
. Logo todos os menores principais de ordem par são maiores ou iguais a zero (na verdade
) e os de ordem ímpar são menores ou iguais a zero (na verdade
).
Resposta
(a) Verdadeira.
(b) Verdadeira.
(b) Verdadeira.