Seja A uma matriz simétrica 4 times 4. Denote o menor principal líder de ordem k de A por |Ak|. Classifique a matriz A como positiva definida, negativa definida, indefinida, positiva semidefinida e negativa semidefinida em cada um dos casos abaixo. Justifique cuidadosamente sua resposta.
|A1|<0,|A2|>0,|A3|<0 e |A4|>0.

Passo 1

O enunciado dá uma matriz simétrica 4times4 cujos menores principais líderes satisfazem
|A1|<0, |A2|>0, |A3|<0, |A4|>0,
e pede para classificarmos A (positiva definida, negativa definida, semidefinida ou indefinida). Para isso usaremos o critério de Sylvester.

Passo 2

Pelo critério de Sylvester, A é positiva definida se, e somente se, todos os menores principais líderes forem positivos:
|A1|>0,;|A2|>0,;|A3|>0,;|A4|>0
Como |A1|<0, esse critério já falha e A não pode ser positiva definida.

Passo 3

Ainda pelo critério de Sylvester, A é negativa definida se, e somente se,
(-1)^k,|Ak|>0 para k=1,2,3,4
Verificamos cada caso:
k=1:;(-1)^1|A1|=-|A1|>0iff|A1|<0(verdadeiro),
k=2:;(-1)^2|A2|=|A2|>0(verdadeiro),
k=3:;(-1)^3|A3|=-|A3|>0iff|A3|<0(verdadeiro),
k=4:;(-1)^4|A4|=|A4|>0(verdadeiro)
Portanto todas as desigualdades são satisfeitas.

Resposta

A é negativa definida.

Exercícios de Livros Relacionados