Seja
uma matriz simétrica
. Denote o menor principal líder de ordem
de
por
. Classifique a matriz
como positiva definida, negativa definida, indefinida, positiva semidefinida e negativa semidefinida em cada um dos casos abaixo. Justifique cuidadosamente sua resposta.
e
.
Passo 1
O enunciado dá uma matriz simétrica
cujos menores principais líderes satisfazem
e pede para classificarmos
(positiva definida, negativa definida, semidefinida ou indefinida). Para isso usaremos o critério de Sylvester.
Passo 2
Pelo critério de Sylvester,
é positiva definida se, e somente se, todos os menores principais líderes forem positivos:
Como
, esse critério já falha e
não pode ser positiva definida.
Passo 3
Ainda pelo critério de Sylvester,
é negativa definida se, e somente se,
Verificamos cada caso:
Portanto todas as desigualdades são satisfeitas.
Resposta
A é negativa definida.