Diga se cada uma das sentenças abaixo é verdadeira ou falsa, apresentando uma justificativa caso ela seja verdadeira ou um contra-exemplo caso ela seja falsa.
Se A é uma matriz simétrica n times n negativa definida, então B=-A é uma matriz simétrica positiva definida.

Passo 1

O enunciado afirma que A é uma matriz simétrica ntimes n negativa definida e define B = -A. O que precisamos verificar é se B também é simétrica e se de fato B é positiva definida.

Passo 2

Lembramos as definições fundamentais de definitude para uma matriz simétrica:
  1. A é negativa definida se, para todo vetor não nulo xinR^n,
x^T A x < 0
  1. B é positiva definida se, para todo vetor não nulo xinR^n,
x^T B x > 0

Passo 3

Primeiro, mostramos que B é simétrica. De fato,
B^T = (-A)^T = -A^T = -A = B,
pois A é simétrica ( A^T=A). Logo, B também é simétrica.

Passo 4

Agora, analisamos o forma quadrática de B. Para qualquer xneq 0,
x^T B x = x^T(-A)x = -,x^T A x
Como A é negativa definida, temos x^T A x<0. Portanto
x^T B x = -l(x^T A xr)>0,
o que mostra que B é positiva definida.

Resposta

A afirmação é verdadeira.

Exercícios de Livros Relacionados