Diga se cada uma das sentenças abaixo é verdadeira ou falsa, apresentando uma justificativa caso ela seja verdadeira ou um contra-exemplo caso ela seja falsa.
Se
é uma matriz simétrica
negativa definida, então
é uma matriz simétrica positiva definida.
Se
Passo 1
O enunciado afirma que
é uma matriz simétrica
negativa definida e define
. O que precisamos verificar é se
também é simétrica e se de fato
é positiva definida.
Passo 2
Lembramos as definições fundamentais de definitude para uma matriz simétrica:
-
é negativa definida se, para todo vetor não nulo ,
-
é positiva definida se, para todo vetor não nulo ,
Passo 3
Primeiro, mostramos que
é simétrica. De fato,
pois
é simétrica (
). Logo,
também é simétrica.
Passo 4
Agora, analisamos o forma quadrática de
. Para qualquer
,
Como
é negativa definida, temos
. Portanto
o que mostra que
é positiva definida.
Resposta
A afirmação é verdadeira.