Diga se cada uma das sentenças é verdadeira ou falsa.
2 pi in Q

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a sentença
2pi in Q
é verdadeira ou falsa. O conteúdo é teoria de números racionais e irracionais e a propriedade de multiplicação de irracionais por racionais.

Passo 2

Recordando a definição: um número x pertence a Q se, e somente se, ele pode ser escrito como
x = pq
com p,q in Z e q neq 0. Caso contrário, dizemos que x é irracional.

Passo 3

É um fato clássico que
pi
é um número irracional, ou seja, não existe nenhum par de inteiros p,q tais que pi = p/q.

Passo 4

Vale a seguinte propriedade: se alpha é irracional e rinQsetminus0, então ralpha também é irracional. A ideia da prova por contradição é: se ralpha fosse racional, dividir por r (não nulo e racional) daria alpha racional, contradizendo a hipótese.

Passo 5

Como 2inQsetminus0 e pi é irracional, o produto
2pi
é irracional. Logo não pode pertencer a Q.

Resposta

Falsa.

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