As dimensões x, y e z de um paralelepípedo retângulo são proporcionais a, b e c. Dada a diagonal d, calcule essas dimensões.

Passo 1

O enunciado diz que as arestas x,y,z de um paralelepípedo retângulo são proporcionais a três constantes a,b,c (isto é, existe um k tal que x=ka, y=kb, z=kc) e que a diagonal mede d. O conteúdo aqui é usar proporcionalidade e a fórmula da diagonal em um sólido retangular:
raizx^2+y^2+z^2=d

Passo 2

Como x,y,z são proporcionais a a,b,c, escrevemos
x = k,a, y = k,b, z = k,c
para algum escalar k>0. Nosso objetivo é achar k usando o valor da diagonal.

Passo 3

Substituímos na fórmula da diagonal:
raizx^2+y^2+z^2 = raiz(k,a)^2 + (k,b)^2 + (k,c)^2 = raizk^2,(a^2+b^2+c^2) = k,raiza^2+b^2+c^2
Como isso deve ser igual a d, temos
k,raiza^2+b^2+c^2 = d Longrightarrow k = draiza^2+b^2+c^2

Passo 4

Bastam agora as expressões de x,y,z em função de k:
x = k,a = d,araiza^2+b^2+c^2, y = k,b = d,braiza^2+b^2+c^2, z = k,c = d,craiza^2+b^2+c^2

Resposta

x = d,araiza^2+b^2+c^2, y = d,braiza^2+b^2+c^2, z = d,craiza^2+b^2+c^2

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