Prove que o número de diagonais de um prisma é igual ao dobro do número de diagonais de uma de suas bases.

Passo 1

O enunciado quer que a gente mostre que, num prisma cuja base é um polígono de n vértices, o número de diagonais espaciais do prisma (diagonais que não pertencem a nenhuma face) é exatamente o dobro do número de diagonais de uma de suas bases.
Conteúdo que vamos usar:
– Definição de diagonal espacial de um poliedro: segmento que une dois vértices que não estão numa mesma face.
– Fato conhecido: um polígono de n vértices tem n(n-3)2 diagonais.

Passo 2

Vamos contar, para um vértice V que pertence à base “inferior”, quantas diagonais espaciais partem de V.
1. V não faz diagonal espacial com vértices da mesma base, pois todos estão na face base.
2. Dos n vértices da base “superior”, V não se conecta por diagonal espacial a três deles, pois esses três compartilham alguma aresta ou face com V:
  • o vértice correspondente (aresta vertical),
  • os dois vizinhos desse vértice na base superior (arestas laterais).
    3. Logo, dos n vértices da base superior, restam ;n-3; vértices aos quais V se conecta por diagonal espacial.

Passo 3

Como há n vértices na base inferior e n na base superior, cada um deles gera n-3 diagonais espaciais. Assim, somando sobre os 2n vértices, obtemos
somas dos graus ;=; 2n(n-3)
Mas cada diagonal espacial foi contada duas vezes (uma de cada extremidade), então o total de diagonais espaciais do prisma é
2n(n-3)2 ;=; n(n-3)

Passo 4

O número de diagonais de uma base (polígono de n vértices) é
n(n-3)2
Multiplicando por 2, vemos que
2cdotn(n-3)2 ;=;n,(n-3),
que coincide exatamente com o total de diagonais espaciais do prisma encontrado no passo anterior.

Resposta

Como queríamos, o número de diagonais do prisma é
n,(n-3)
que é duas vezes
n(n-3)2,
ou seja, o dobro do número de diagonais de sua base.

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