Prove que o número de diagonais de um prisma é igual ao dobro do número de diagonais de uma de suas bases.
Passo 1
O enunciado quer que a gente mostre que, num prisma cuja base é um polígono de
vértices, o número de diagonais espaciais do prisma (diagonais que não pertencem a nenhuma face) é exatamente o dobro do número de diagonais de uma de suas bases.
Conteúdo que vamos usar:
– Definição de diagonal espacial de um poliedro: segmento que une dois vértices que não estão numa mesma face.
– Fato conhecido: um polígono de vértices tem
diagonais.
Conteúdo que vamos usar:
– Definição de diagonal espacial de um poliedro: segmento que une dois vértices que não estão numa mesma face.
– Fato conhecido: um polígono de
Passo 2
Vamos contar, para um vértice
que pertence à base “inferior”, quantas diagonais espaciais partem de
.
.
não faz diagonal espacial com vértices da mesma base, pois todos estão na face base.
. Dos
vértices da base “superior”,
não se conecta por diagonal espacial a três deles, pois esses três compartilham alguma aresta ou face com
:
- o vértice correspondente (aresta vertical),
- os dois vizinhos desse vértice na base superior (arestas laterais).
. Logo, dos vértices da base superior, restam vértices aos quais se conecta por diagonal espacial.
Passo 3
Como há
vértices na base inferior e
na base superior, cada um deles gera
diagonais espaciais. Assim, somando sobre os
vértices, obtemos
Mas cada diagonal espacial foi contada duas vezes (uma de cada extremidade), então o total de diagonais espaciais do prisma é
Passo 4
O número de diagonais de uma base (polígono de
vértices) é
Multiplicando por
, vemos que
que coincide exatamente com o total de diagonais espaciais do prisma encontrado no passo anterior.
Resposta
Como queríamos, o número de diagonais do prisma é
que é duas vezes
ou seja, o dobro do número de diagonais de sua base.