Dívida bancária
Heloísa contraiu um empréstimo de R$ 1.000,00 e terá que pagar juros de 6% ao mês. Se Heloísa não saldar sequer uma parte da sua dívida, em que momento ela deverá o dobro do valor que pegou emprestado?

Passo 1

O enunciado trata de juros compostos: Heloísa tomou emprestado P = 1000 reais e não faz nenhum pagamento, de modo que a dívida cresce mês a mês à taxa de i = 6% = 0,06 ao mês. Nosso objetivo é descobrir em quantos meses n o montante M(n) será o dobro do capital inicial, ou seja, M(n)=2000. Vamos usar a fórmula de juros compostos:
M(n) = P,(1+i)^n

Passo 2

Aplicando a fórmula e impondo M(n)=2000, temos:
1000,(1+0,06)^n = 2000
Dividindo ambos os lados por 1000:
(1,06)^n = 2

Passo 3

Para “desgrudar” o n do expoente, usamos logaritmo natural em ambos os lados:
lnl((1,06)^nr) = ln(2)
Pela propriedade ln(a^b)=b,ln(a), isso vira:
n ,ln(1,06) = ln(2)
Logo:
n = ln(2)ln(1,06)

Passo 4

Basta calcular numericamente:
ln(2) approx 0,6931, ln(1,06) approx 0,0583
n approx 0,69310,0583 approx 11,90
Isso significa que, após cerca de 11,90 meses, a dívida será exatamente o dobro. Como não se paga parte fracionária de mês, ao final do 12.º mês a dívida ultrapassa ligeiramente o dobro, mas é nesse instante que ela atinge o valor desejado.

Resposta

A dívida dobra em aproximadamente 11,90 meses, ou seja, ao final do 12.º mês.

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