Dívida bancária
Heloísa contraiu um empréstimo de R$ 1.000,00 e terá que pagar juros de 6% ao mês. Se Heloísa não saldar sequer uma parte da sua dívida, em que momento ela deverá o dobro do valor que pegou emprestado?
Heloísa contraiu um empréstimo de R$ 1.000,00 e terá que pagar juros de 6% ao mês. Se Heloísa não saldar sequer uma parte da sua dívida, em que momento ela deverá o dobro do valor que pegou emprestado?
Passo 1
O enunciado trata de juros compostos: Heloísa tomou emprestado
reais e não faz nenhum pagamento, de modo que a dívida cresce mês a mês à taxa de
ao mês. Nosso objetivo é descobrir em quantos meses
o montante
será o dobro do capital inicial, ou seja,
. Vamos usar a fórmula de juros compostos:
Passo 2
Aplicando a fórmula e impondo
, temos:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 3
Para “desgrudar” o
do expoente, usamos logaritmo natural em ambos os lados:
Pela propriedade
, isso vira:
Logo:
Passo 4
Basta calcular numericamente:
Isso significa que, após cerca de
meses, a dívida será exatamente o dobro. Como não se paga parte fracionária de mês, ao final do 12.º mês a dívida ultrapassa ligeiramente o dobro, mas é nesse instante que ela atinge o valor desejado.
Resposta
A dívida dobra em aproximadamente
meses, ou seja, ao final do 12.º mês.