Dividindo-se dois inteiros positivos pelo seu mdc, a soma dos quocientes obtidos é 8. Determinar os dois inteiros, sabendo que a sua soma é 384.

Passo 1

Resumindo, temos dois inteiros positivos a e b cujo máximo divisor comum é
d = gcd(a,b)
Ao dividir cada um deles por d obtemos quocientes
x = ad e y = bd,
e o enunciado diz que
x + y = 8 e a + b = 384
Para resolver, vamos usar a representação
a = d,x, b = d,y,
juntamente com essas duas condições.

Passo 2

Como a+b=384 e a+b=d(x+y), segue
d,(x+y) = 384
Mas sabemos que x+y=8, logo
d cdot 8 = 384 Longrightarrow d = 48

Passo 3

Agora precisamos achar os pares de inteiros positivos (x,y) tais que
x+y = 8 e gcd(x,y)=1
As decomposições de 8 em soma de dois positivos são
(1,7), (2,6), (3,5), (4,4).

Passo 4

Verificando a condição gcd(x,y)=1:
gcd(1,7)=1 (válido),
gcd(2,6)=2 (descartado),
gcd(3,5)=1 (válido),
gcd(4,4)=4 (descartado).

Passo 5

Os pares (x,y) possíveis são (1,7) e (3,5). Como d=48, obtemos dois conjuntos de inteiros:
Para (x,y)=(1,7):
a = 48cdot1 = 48, b = 48cdot7 = 336
Para (x,y)=(3,5):
a = 48cdot3 = 144, b = 48cdot5 = 240
Em cada caso verifica-se gcd(a,b)=48, a+b=384 e tfraca48+tfracb48=8.

Resposta

Os dois inteiros podem ser
48 e 336
ou
144 e 240.

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