Dividindo-se o número 316 em partes diretamente proporcionais a 11 ; 9 e 7,5, ao mesmo tempo, inversamente proporcionais a 18, 12 e 9, respectivamente, qual é a diferença entre a parte maior e a menor?

Passo 1

O enunciado pede para dividir o número 316 em três partes x1,x2,x3 de modo que sejam diretamente proporcionais a 11, 9 e 7,5 e, ao mesmo tempo, inversamente proporcionais a 18, 12 e 9, respectivamente. Usaremos proporção composta e a soma das partes.

Passo 2

Em proporção composta direta e inversa, cada parte xi satisfaz
x1 = k 1118, x2 = k 912, x3 = k 7,59
Como x1+x2+x3=316, temos
kl(tfrac1118+tfrac912+tfrac7,59r)=316
Calculando o somatório dos fatores:
tfrac1118+tfrac912+tfrac7,59 =tfrac1118+tfrac34+tfrac56 =tfrac2236+tfrac2736+tfrac3036 =tfrac7936
Logo
k,tfrac7936=316 Longrightarrow k=316timestfrac3679=4times36=144

Passo 3

Agora achamos cada parte:
x1=144cdottfrac1118=8cdot11=88,
x2=144cdottfrac912=12cdot9=108,
x3=144cdottfrac7,59=16cdot7,5=120
A parte maior é 120 e a menor é 88, então a diferença é
120 - 88 = 32

Resposta

A diferença entre a parte maior e a menor é 32.

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