Dizemos que f satisfaz a uma condição de Lipschitz em x se existe uma constante M e de<a>0 tais que
|f(y)-f(x)|<M|y-x|
quando |y-x|<de<a.
Prove que a série de Fourier de f converge para f(x) se f satisfaz a uma condiçāo de Lipschitz em x. Sugestão: |f(x-t)-f(x)| Dn(t) é limitada, independentemente de n, se |t|<de<a.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se f satisfaz uma condição de Lipschitz em x, então a sua série de Fourier em x converge para f(x).
Conteúdo envolvido: propriedades do núcleo de Dirichlet
Dn(t)=sumk=-n^ne^ikt =sinl((n+tfrac12)tr)sin(t/2),
fórmula de representação dos somatórios parciais via convolução
Sn(f,x) =12piintegral-pi^pif(x-t),Dn(t),dt,
e o teste de Dirichlet para integrais dependentes de parâmetro.

Passo 2

Primeiro escrevemos a diferença entre o somatório parcial e o valor médio dos limites laterais de f em x. Como é clássico, tem-se
Sn(f,x) =12piintegral-pi^pif(x-t),Dn(t),dt
Usando a simetria de Dn e reorganizando, obtém–se
Sn(f,x) -f(x+0)+f(x-0)2 =1pi integral0^pil[f(x+t)-f(x-t)r] ,sinl((n+tfrac12)tr)sin(t/2),dt
Defina
phi(t)=f(x+t)-f(x-t)2,sin(t/2)
Então
Sn(f,x) -f(x+0)+f(x-0)2 =1piintegral0^piphi(t),sinl((n+tfrac12)tr),dt

Passo 3

Mostramos que phi tem variação limitada em [0,pi].
Como f satisfaz condição de Lipschitz em x, existem M,de<a>0 tais que
|f(xpm t)-f(x)|<= M,t para 0<= t<de<a
Logo, para 0<t<de<a,
|phi(t)| =|f(x+t)-f(x-t)|2,|sin(t/2)| <=|f(x+t)-f(x)|+|f(x)-f(x-t)|2,sin(t/2) <=2M,t2,(t/2) =2M
Em particular phi é limitada e contínua em (0,de<a). Em [de<a,pi] o denominador sin(t/2) é afastado de zero, e f é apenas integrável mas a razão
phi(t) fica contínua em [de<a,pi] pois não há singularidade ali. Qualquer função contínua num intervalo fechado é de variação limitada. Concluímos que phi tem variação total finita em [0,pi].

Passo 4

Aplicamos o teste de Dirichlet para a família de integrais
In =integral0^piphi(t),sinl((n+tfrac12)tr),dt
De fato, escrevemos integração por partes em cada In: seja
Hn(t) =integral0^tsinl((n+tfrac12)sr),ds =1-cosl((n+tfrac12)tr)n+tfrac12,
então Hn(0)=0 e |Hn(t)|<=2n+1/2<= 2.
Fazendo
In =l[phi(t),Hn(t)r]0^pi -integral0^piphi'(t),Hn(t),dt,
vemos que o termo de fronteira phi(pi)Hn(pi)-phi(0)Hn(0) vai a zero porque Hn(pi)to0. E a segunda integral também tende a zero quando ntoinfty, pois phi' é integrável (variação limitada) e Hn(t)to0 uniformemente em t. Logo Into0.

Resposta

Como
Sn(f,x) -f(x+0)+f(x-0)2 =1pi,In e Into0,
concluímos que
limntoinftySn(f,x) =f(x+0)+f(x-0)2
Se f é contínua em x (o que ocorre sob condição de Lipschitz), então f(x+0)=f(x-0)=f(x), e assim a série de Fourier converge para f(x).

Exercícios de Livros Relacionados