Dizemos que
satisfaz a uma condição de Lipschitz em
se existe uma constante
e
tais que
quando
.
Prove que a série de Fourier de
converge para
se
satisfaz a uma condiçāo de Lipschitz em
. Sugestão:
é limitada, independentemente de
, se
.
Prove que a série de Fourier de
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se
satisfaz uma condição de Lipschitz em
, então a sua série de Fourier em
converge para
.
Conteúdo envolvido: propriedades do núcleo de Dirichlet
Conteúdo envolvido: propriedades do núcleo de Dirichlet
fórmula de representação dos somatórios parciais via convolução
e o teste de Dirichlet para integrais dependentes de parâmetro.
Passo 2
Primeiro escrevemos a diferença entre o somatório parcial e o valor médio dos limites laterais de
em
. Como é clássico, tem-se
Usando a simetria de
e reorganizando, obtém–se
Defina
Então
Passo 3
Mostramos que
tem variação limitada em
.
Como satisfaz condição de Lipschitz em
, existem
tais que
Como
Logo, para
,
Em particular
é limitada e contínua em
. Em
o denominador
é afastado de zero, e
é apenas integrável mas a razão
fica contínua em
pois não há singularidade ali. Qualquer função contínua num intervalo fechado é de variação limitada. Concluímos que
tem variação total finita em
.
Passo 4
Aplicamos o teste de Dirichlet para a família de integrais
De fato, escrevemos integração por partes em cada
: seja
então
e
.
Fazendo
Fazendo
vemos que o termo de fronteira
vai a zero porque
. E a segunda integral também tende a zero quando
, pois
é integrável (variação limitada) e
uniformemente em
. Logo
.
Resposta
Como
concluímos que
Se
é contínua em
(o que ocorre sob condição de Lipschitz), então
, e assim a série de Fourier converge para
.