Se
, prove que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para todo
com
, vale a desigualdade
O conteúdo principal envolve duas desigualdades clássicas:
-
em . -
em , que resulta da concavidade de .
Passo 2
Prova de
. Definimos a função
Então
e, para
,
pois
. Logo
é crescente e
, ou seja,
Dividindo ambos os lados por
, obtemos
Passo 3
Prova de
usando a concavidade de
. Observamos que
em
, logo
é função côncava nesse intervalo. O teorema da concavidade diz que o gráfico de
fica acima da reta que liga a
. A equação dessa reta é
Como a curva está estritamente acima dessa reta em
, segue
Dividindo por
, resulta
Passo 4
Combinando as duas partes, concluímos que, para todo
em
,