Se 0<x<pi2, prove que
2pi<sen xx<1

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para todo x com 0<x<tfracpi2, vale a desigualdade
2pi<sen xx<1
O conteúdo principal envolve duas desigualdades clássicas:
  1. sen x< x em (0,pi/2).
  2. sen x>tfrac2pix em (0,pi/2), que resulta da concavidade de sen x.

Passo 2

Prova de sen x< x. Definimos a função
f(x)=x-sen x
Então f(0)=0 e, para xin(0,pi/2),
f'(x)=1-cos x>0,
pois cos x<1. Logo f é crescente e f(x)>f(0)=0, ou seja,
x-sen x>0Longrightarrowsen x<x
Dividindo ambos os lados por x>0, obtemos
sen xx<1

Passo 3

Prova de usando a concavidade de . Observamos que
em , logo é função côncava nesse intervalo. O teorema da concavidade diz que o gráfico de fica acima da reta que liga a . A equação dessa reta é
Como a curva está estritamente acima dessa reta em , segue
Dividindo por , resulta

Passo 4

Combinando as duas partes, concluímos que, para todo x em (0,tfracpi2),
2pi<sen xx<1

Resposta

2pi<sen xx<1

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