Dizer para que valores de x as seguintes funções são definidas, assim como os valores de x onde elas são contínuas:
y=|x|x

Passo 1

O enunciado pede para determinar o domínio da função
y = |x|x
e em quais valores de x ela é contínua. O conteúdo envolvido é domínio de funções racionais (divisão) e análise de continuidade em funções definidas por trechos.

Passo 2

Para achar o domínio, observamos que a expressão faz uma divisão por x. Logo, não podemos ter denominador zero. Portanto,
x neq 0
e o domínio é
xinRmid xneq 0 ;=;(-infty,0)cup(0,infty)

Passo 3

Para estudar a continuidade, escrevemos a função em forma de trechos. Sabendo que
|x| = x, & x>= 0, -,x, & x<0,
temos
y = |x|x = xx=1, & x>0, -xx=-1, & x<0
Ou seja, y(x)=1 em (0,infty) e y(x)=-1 em (-infty,0).

Passo 4

Cada trecho é uma função constante, e funções constantes são contínuas em todo o seu domínio. Logo, a função é contínua em cada um dos intervalos (-infty,0) e (0,infty). Em x=0 a função não está definida, então não há continuidade nem mesmo para verificar limite.

Resposta

Domínio: (-infty,0)cup(0,infty).
A função é contínua para todos os x tais que x<0 ou x>0 e não é contínua em x=0 (pois nem está definida aí).

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