Verificar as fórmulas de integração dadas abaixo. As fórmulas (a) até (g) são essencialmente repetições de fórmulas básicas de integração. As demais podem ser reduzidas a essas sete com o emprego apropriado de substituição,
integraçä̃o pờ pårtés, frações parciais, e identidades trigonométricas; achando o resultadó, verificá-lo por derivação.
Passo 1
O enunciado pede para calcular e verificar por derivação a integral
integral dxxraiza^2pm x^2
usando técnicas como substituição trigonométrica. Vamos fazer dois casos: o sinal “+” e o sinal “–”, encontrar a antiderivada e depois confirmar por diferenciação.
Passo 2
Caso “+”: seja ,x = atantheta. Então
dx = asec^2theta,dtheta, raiza^2+x^2 = asectheta
A integral vira
integral asec^2theta,dtheta(atantheta)(asectheta) = 1aintegral sec^2thetatantheta,sectheta,dtheta = 1aintegral csctheta,dtheta = -1alnl|csctheta+cotthetar| + C
Voltando a x, note que
csctheta = raiza^2+x^2x, cottheta = ax,
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integral dxxraiza^2+x^2 = -1alnl|a+raiza^2+x^2xr| + C
Caso “–”: seja ,x = asintheta. Então
dx = acostheta,dtheta, raiza^2-x^2 = acostheta,
e a integral fica
integral acostheta,dtheta(asintheta)(acostheta) = 1aintegral csctheta,dtheta = -1alnl|csctheta+cotthetar| + C
Agora
csctheta = ax, cottheta = raiza^2-x^2x,
implicando
integral dxxraiza^2-x^2 = -1alnl|a+raiza^2-x^2xr| + C
Passo 3
Vamos verificar por derivação que
F(x) = -1alnl|a+raiza^2pm x^2xr|
satisfaça F'(x)=tfrac1xraiza^2pm x^2. Diferenciando, use a regra do quociente e cadeia: