a) Quando dois eventos E e F são independentes?
b) Suponha que E seja o evento de aparecer um número par quando um dado não-viciado é lançado e F seja o evento de sair 5 ou 6. E e F são independentes?

Passo 1

O enunciado pergunta em que situação dois eventos E e F são independentes e, no item (b), analisa se os eventos E= “sair número par” e F= “sair 5 ou 6” em um dado não-viciado são independentes. O conteúdo envolvido é Probabilidade, mais especificamente Independência de Eventos. Para resolver, vamos usar a definição de independência e calcular probabilidades clássicas num espaço equiprovável.

Passo 2

A definição de independência afirma que dois eventos E e F são independentes se, e somente se,
\Pr(E\cap F) \;=\;\Pr(E)\,\Pr(F).
Alternativamente, isso equivale a \Pr(E\mid F)=\Pr(E) ou \Pr(F\mid E)=\Pr(F), desde que tais probabilidades condicionais estejam definidas.

Passo 3

Calculemos \Pr(E). O evento E é “sair número par”, ou seja \{2,4,6\} em um dado de seis faces equiprovável. Logo,
\Pr(E) \;=\;\frac{3}{6} \;=\;\tfrac12.

Passo 4

Calculemos \Pr(F). O evento F é “sair 5 ou 6”, ou seja \{5,6\}. Assim,
\Pr(F) \;=\;\frac{2}{6} \;=\;\tfrac13.

Passo 5

Determine \Pr(E\cap F). O evento E\cap F corresponde a “ser par e ao mesmo tempo 5 ou 6”, que só ocorre se sair 6. Portanto,
\Pr(E\cap F) = \frac{1}{6}.

Passo 6

Comparemos \Pr(E\cap F) com \Pr(E)\,\Pr(F). Temos
\Pr(E)\,\Pr(F) \;=\;\tfrac12 \times \tfrac13 \;=\;\tfrac{1}{6},
o mesmo valor de \Pr(E\cap F). Logo, a condição de independência é satisfeita.

Resposta

(a) Dois eventos E e F são independentes se, e somente se, \Pr(E\cap F)=\Pr(E)\,\Pr(F).
(b) Sim. Para E=\{2,4,6\} e F=\{5,6\} temos \Pr(E\cap F)=\tfrac16 e \Pr(E)\Pr(F)=\tfrac16, logo são independentes.

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