4.6.7 O dual de um tensor quadridimensional de segunda ordem B pode ser definido por (\tilde{\mathbf{B}}, em que os elementos do tensor dual são dados por
Mostre que tildeB se transforma em
(a) um tensor de segunda ordem sob rotações,
(b) um pseudotensor sob inversões.
Note: Aqui, o til não significa transposta.

Passo 1

O enunciado define um tensor de segunda ordem em espaço quadridimensional tilde Bij ;=;12,epsilonijkl,Bkl, e o seu dual cujos componentes valem
Queremos mostrar como se transforma (a) sob rotações propriamente ditas e (b) sob inversões . Para isso usaremos as leis de transformação de e do símbolo de Levi–Civita .

Passo 2

Sob uma transformação ortonormal B'kl ;=;Qk a,Ql b,Bab, com tilde B'ij ;=;12,epsilon'ijkl,B'kl, , os componentes de mudam segundo
Por definição do dual,

Passo 3

O símbolo de Levi–Civita em 4D transforma assim:
epsilon'ijkl ;=;det Q;,Qi a,Qj b,Qk c,Ql d;epsilonabcd,

Passo 4

Substituindo em tilde B'ij &=12,epsilon'ijkl,B'kl =12;(det Q);Qi aQj bQk cQl d,epsilonabcd ;;Qk eQl f,Bef &=(det Q);Qi aQj b;12,epsilonabef,Bef =(det Q);Qi aQj b,tilde Bab,, :
onde usamos e .

Passo 5

Da última linha extraímos:
  • Se (rotação própria),
    ,
    isto é, é tensor de segunda ordem.
  • Se (inversão),
    ,
    ou seja, é pseudotensor.

Resposta

(a) Sob rotações, transforma como tensor de segunda ordem.
(b) Sob inversões, transforma como pseudotensor de segunda ordem.

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