4.6.7 O dual de um tensor quadridimensional de segunda ordem
pode ser definido por (\tilde{\mathbf{B}}, em que os elementos do tensor dual são dados por
Mostre que
se transforma em
(a) um tensor de segunda ordem sob rotações,
(b) um pseudotensor sob inversões.
Note: Aqui, o til não significa transposta.
(a) um tensor de segunda ordem sob rotações,
(b) um pseudotensor sob inversões.
Passo 1
O enunciado define um tensor de segunda ordem em espaço quadridimensional
e o seu dual
cujos componentes valem
Queremos mostrar como
se transforma (a) sob rotações propriamente ditas
e (b) sob inversões
. Para isso usaremos as leis de transformação de
e do símbolo de Levi–Civita
.
Passo 2
Sob uma transformação ortonormal
com
, os componentes de
mudam segundo
Por definição do dual,
Passo 3
O símbolo de Levi–Civita em 4D transforma assim:
Passo 4
Substituindo em
:
onde usamos
e
.
Passo 5
Da última linha extraímos:
- Se
(rotação própria),
,
isto é,é tensor de segunda ordem. - Se
(inversão),
,
ou seja,é pseudotensor.
Resposta
(a) Sob rotações,
transforma como tensor de segunda ordem.
(b) Sob inversões, transforma como pseudotensor de segunda ordem.
(b) Sob inversões,