4.6.7 O dual de um tensor quadridimensional de segunda ordem \mathbf{B} pode ser definido por (\tilde{\mathbf{B}}, em que os elementos do tensor dual são dados por
Mostre que \tilde{\mathbf{B}} se transforma em
(a) um tensor de segunda ordem sob rotações,
(b) um pseudotensor sob inversões.
Note: Aqui, o til não significa transposta.)

Passo 1

O enunciado define um tensor de segunda ordem em espaço quadridimensional \mathbf{B} e o seu dual \tilde{\mathbf{B}} cujos componentes valem
\tilde B_{ij} \;=\;\frac12\,\epsilon_{ijkl}\,B_{kl}\,.
Queremos mostrar como \tilde B_{ij} se transforma (a) sob rotações propriamente ditas (\det Q=+1) e (b) sob inversões (\det Q=-1). Para isso usaremos as leis de transformação de B_{kl} e do símbolo de Levi–Civita \epsilon_{ijkl}.

Passo 2

Sob uma transformação ortonormal Q com \det Q=\pm1, os componentes de B mudam segundo
B'_{kl} \;=\;Q_{k a}\,Q_{l b}\,B_{ab}\,.
Por definição do dual,
\tilde B'_{ij} \;=\;\frac12\,\epsilon'_{ijkl}\,B'_{kl}\,.

Passo 3

O símbolo de Levi–Civita em 4D transforma assim:
\epsilon'_{ijkl} \;=\;\det Q\;\,Q_{i a}\,Q_{j b}\,Q_{k c}\,Q_{l d}\;\epsilon_{abcd}\,.

Passo 4

Substituindo em \tilde B'_{ij}:
\begin{aligned} \tilde B'_{ij} &=\frac12\,\epsilon'_{ijkl}\,B'_{kl} =\frac12\;(\det Q)\;Q_{i a}Q_{j b}Q_{k c}Q_{l d}\,\epsilon_{abcd} \;\;Q_{k e}Q_{l f}\,B_{ef}\\\ &=(\det Q)\;Q_{i a}Q_{j b}\;\frac12\,\epsilon_{abef}\,B_{ef} =(\det Q)\;Q_{i a}Q_{j b}\,\tilde B_{ab}\,, \end{aligned}
onde usamos Q_{k c}Q_{k e}=\delta_{ce} e Q_{l d}Q_{l f}=\delta_{df}.

Passo 5

Da última linha extraímos:
  • Se \det Q=+1 (rotação própria),
    \displaystyle \tilde B'_{ij}=Q_{i a}Q_{j b}\,\tilde B_{ab},
    isto é, \tilde{\mathbf{B}} é tensor de segunda ordem.
  • Se \det Q=-1 (inversão),
    \displaystyle \tilde B'_{ij}=-\,Q_{i a}Q_{j b}\,\tilde B_{ab},
    ou seja, \tilde{\mathbf{B}} é pseudotensor.

Resposta

(a) Sob rotações, \tilde{\mathbf{B}} transforma como tensor de segunda ordem.
(b) Sob inversões, \tilde{\mathbf{B}} transforma como pseudotensor de segunda ordem.

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