4.6.3 Escreva a condição de calibre de Lorentz (Equação (4.143)) como uma equação tensorial no espaço de Minkowski.
Passo 1
O enunciado pede para reescrever a condição de calibre de Lorentz, dada em forma
como
numa única equação tensorial no espaço de Minkowski. Aqui vamos usar o
-vetor potencial e a derivada covariante plana em Minkowski.
Passo 2
Definimos o
-vetor potencial eletromagnético
e a derivada
-vetorial
Note que o sinal menos nas componentes espaciais vem da métrica de Minkowski
.
Passo 3
A condição de calibre de Lorentz exige que a divergência
-vetorial do potencial seja nula. Em notação tensorial, isso equivale a contrair
com
usando a métrica plana:
Fazendo as contas em componente
damos
o que recupera exatamente a forma
.