4.6.3 Escreva a condição de calibre de Lorentz (Equação (4.143)) como uma equação tensorial no espaço de Minkowski.

Passo 1

O enunciado pede para reescrever a condição de calibre de Lorentz, dada em forma 3+1 como
\nabla\!\cdot\!\mathbf{A} + \frac{1}{c}\frac{\partial \varphi}{\partial t} = 0,
numa única equação tensorial no espaço de Minkowski. Aqui vamos usar o 4-vetor potencial e a derivada covariante plana em Minkowski.

Passo 2

Definimos o 4-vetor potencial eletromagnético
A^{\mu} = \bigl(\tfrac{\varphi}{c},\,\mathbf{A}\bigr),
e a derivada 4-vetorial
\partial_{\mu} = \Bigl(\tfrac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t},\, -\nabla\Bigr).
Note que o sinal menos nas componentes espaciais vem da métrica de Minkowski \eta_{\mu\nu}=\mathrm{diag}(+,-,-,-).

Passo 3

A condição de calibre de Lorentz exige que a divergência 4-vetorial do potencial seja nula. Em notação tensorial, isso equivale a contrair \partial_{\mu} com A^{\mu} usando a métrica plana:
\partial_{\mu}A^{\mu} = \eta^{\mu\nu}\,\partial_{\mu}A_{\nu} = 0.
Fazendo as contas em componente 0 damos
\partial_{0}A^{0} + \partial_{i}A^{i} = \frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t}\!\Bigl(\frac{\varphi}{c}\Bigr) + \bigl(\nabla\!\cdot\!\mathbf{A}\bigr) = \nabla\!\cdot\!\mathbf{A} + \frac{1}{c}\frac{\partial \varphi}{\partial t},
o que recupera exatamente a forma 3+1.

Resposta

\boxed{\partial_{\mu}A^{\mu} = 0.}

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