4.6.3 Escreva a condição de calibre de Lorentz (Equação (4.143)) como uma equação tensorial no espaço de Minkowski.

Passo 1

O enunciado pede para reescrever a condição de calibre de Lorentz, dada em forma nabla!cdot!A + 1cpartial phipartial t = 0, como
numa única equação tensorial no espaço de Minkowski. Aqui vamos usar o -vetor potencial e a derivada covariante plana em Minkowski.

Passo 2

Definimos o A^mu = l(tfracphic,,Ar), -vetor potencial eletromagnético
partialmu = l(tfrac1cpartialpartial t,, -nablar)
e a derivada -vetorial
Note que o sinal menos nas componentes espaciais vem da métrica de Minkowski .

Passo 3

A condição de calibre de Lorentz exige que a divergência partialmuA^mu = eta^munu,partialmuAnu = 0 -vetorial do potencial seja nula. Em notação tensorial, isso equivale a contrair partial0A^0 + partialiA^i = 1cpartialpartial t!l(phicr) + l(nabla!cdot!Ar) = nabla!cdot!A + 1cpartial phipartial t, com usando a métrica plana:
Fazendo as contas em componente damos
o que recupera exatamente a forma .

Resposta

boxedpartialmuA^mu = 0

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