Duas esferas tangentes entre si tangenciam internamente uma outra esfera. Sendo 10 cm o diâmetro da esfera maior, determine a relação entre os volumes das esferas tangentes internamente, sabendo que sua soma é 23 do volume da esfera maior.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma esfera “maior” de diâmetro 10,cm, logo de raio
R = 5 cm
Dentro dela há duas esferas de raios r1 e r2 que se tangenciam entre si e tangenciam internamente a grande. Sabemos ainda que
V1+V2 = tfrac23Vmaior,
onde Vi=tfrac43pi ri^3.

Passo 2

Quando duas esferas interiores se tangenciam entre si e cada uma tangencia internamente a maior, todos os centros ficam alinhados num mesmo diâmetro. A distância do centro grande até cada pequeno vale R - ri, e a distância entre eles vale r1+r2. Como eles estão em lados opostos do centro,
(R - r1) + (R - r2) = r1 + r2
logo
2R - (r1+r2) = r1+r2 Longrightarrow r1 + r2 = R

Passo 3

A soma dos volumes pequenos é
V1+V2 = tfrac43pil(r1^3 + r2^3r)
e isso deve ser tfrac23Vmaior=tfrac23cdottfrac43pi R^3. Cancelando tfrac43pi,
r1^3 + r2^3 = tfrac23,R^3

Passo 4

Use r2=R-r1 e defina x = tfracr1R. Então r2/R = 1-x, e
x^3 + (1-x)^3 = tfrac23
Expanda e simplifique:
x^3 + 1 - 3x + 3x^2 - x^3 = tfrac23 Longrightarrow 3x^2 -3x +1 = tfrac23 Longrightarrow 9x^2 -9x +1 = 0

Passo 5

Resolva a quadrática
x = 9 pm raiz81 - 3618 = 9 pm raiz4518 = 3pmraiz56
Isso dá dois valores, correspondendo a trocar os papéis de r1 e r2. O importante é
r1r2 = x1-x = tfrac3+raiz56tfrac3-raiz56 = 3+raiz53-raiz5

Passo 6

A razão entre os volumes é o cubo da razão dos raios, portanto
V1V2 = gl(r1r2gr)^3 = gl(3+raiz53-raiz5gr)^3

Resposta

V1:V2 = l(3+raiz5r)^3 : l(3-raiz5r)^3 ou, equiva<=ntemente, V1V2=l(tfrac3+raiz53-raiz5r)^3

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