Duas esferas tangentes entre si tangenciam internamente uma outra esfera. Sendo 10 cm o diâmetro da esfera maior, determine a relação entre os volumes das esferas tangentes internamente, sabendo que sua soma é
do volume da esfera maior.
Passo 1
O enunciado diz que temos uma esfera “maior” de diâmetro
,cm, logo de raio
Dentro dela há duas esferas de raios
e
que se tangenciam entre si e tangenciam internamente a grande. Sabemos ainda que
onde
.
Passo 2
Quando duas esferas interiores se tangenciam entre si e cada uma tangencia internamente a maior, todos os centros ficam alinhados num mesmo diâmetro. A distância do centro grande até cada pequeno vale
, e a distância entre eles vale
. Como eles estão em lados opostos do centro,
logo
Passo 3
A soma dos volumes pequenos é
e isso deve ser
. Cancelando
,
Passo 4
Use
e defina
. Então
, e
Expanda e simplifique:
Passo 5
Resolva a quadrática
Isso dá dois valores, correspondendo a trocar os papéis de
e
. O importante é
Passo 6
A razão entre os volumes é o cubo da razão dos raios, portanto