Encontre f(g(x)) e g(f(x)). Determine o domínio de cada função.
f(x)=x^{2}-1 ; g(x)=\frac{1}{x-1}

Passo 1

O enunciado pede para calcular as composições \,f\bigl(g(x)\bigr) e \,g\bigl(f(x)\bigr) onde
f(x)=x^{2}-1
e
g(x)=\frac{1}{x-1}.
O conteúdo envolvido é composição de funções e determinação de domínio, levando em conta restrições de denominadores.

Passo 2

Para achar f\bigl(g(x)\bigr), substituímos x em f por g(x):
f\bigl(g(x)\bigr) =\bigl(g(x)\bigr)^{2}-1 =\left(\frac{1}{x-1}\right)^{2}-1 =\frac{1}{(x-1)^{2}}-1.

Passo 3

O domínio de f\bigl(g(x)\bigr) é o conjunto de x em que g(x) está definido (já que f aceita todo real). Como
g(x)=\frac{1}{x-1}
exige x-1\neq0, concluímos que
\text{Domínio de }f\bigl(g(x)\bigr)=\{\,x\in\mathbb{R}\mid x\neq1\}.í

Passo 4

Para achar g\bigl(f(x)\bigr), substituímos x em g por f(x):
g\bigl(f(x)\bigr) =\frac{1}{\,f(x)-1\,} =\frac{1}{\,(x^{2}-1)-1\,} =\frac{1}{x^{2}-2}.

Passo 5

O domínio de g\bigl(f(x)\bigr) exige que o denominador x^{2}-2 seja diferente de zero, ou seja
x^{2}-2\neq0\quad\Longrightarrow\quad x\neq\pm\sqrt{2}.
Portanto
\text{Domínio de }g\bigl(f(x)\bigr)=\{\,x\in\mathbb{R}\mid x\neq\pm\sqrt{2}\}.í

Resposta

f\bigl(g(x)\bigr)=\displaystyle \frac{1}{(x-1)^{2}}-1,\quad \text{Domínio: }x\neq1.í
g\bigl(f(x)\bigr)=\displaystyle \frac{1}{x^{2}-2},\quad \text{Domínio: }x\neq\pm\sqrt{2}.í

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