Encontre f(g(x)) e g(f(x)). Determine o domínio de cada função.
f(x)=x^{3} ; g(x)=\sqrt[3]{1-x^{3}}

Passo 1

O enunciado dá
f(x)=x^{3} e
g(x)=\sqrt[3]{1 - x^{3}}.
Queremos as composições f\bigl(g(x)\bigr) e g\bigl(f(x)\bigr), além de seus domínios. Para isso, vamos usar propriedades de funções compostas e lembrar que a raiz cúbica \sqrt[3]{\,\cdot\,} está definida para todo número real.

Passo 2

Calcular f\bigl(g(x)\bigr).
Por definição de função composta,
f\bigl(g(x)\bigr)=\bigl(g(x)\bigr)^{3} =\bigl(\sqrt[3]{1 - x^{3}}\bigr)^{3} =1 - x^{3}.

Passo 3

Determinar o domínio de f\bigl(g(x)\bigr).
O domínio de f\bigl(g(x)\bigr) é o mesmo que o domínio de g, pois f está aplicada depois. Como \sqrt[3]{1 - x^{3}} aceita qualquer x\in\mathbb{R}, temos
Domínio de f\bigl(g(x)\bigr): \mathbb{R}.

Passo 4

Calcular g\bigl(f(x)\bigr).
Por definição,
g\bigl(f(x)\bigr) =\sqrt[3]{\,1 - \bigl(f(x)\bigr)^{3}\,} =\sqrt[3]{\,1 - (x^{3})^{3}\,} =\sqrt[3]{\,1 - x^{9}\,}.

Passo 5

Determinar o domínio de g\bigl(f(x)\bigr).
O domínio de g\bigl(f(x)\bigr) é o domínio de f, pois g está aplicada depois. E f(x)=x^{3} também está definido para todo x\in\mathbb{R}. Além disso, a raiz cúbica aceita qualquer real no radicando. Logo,
Domínio de g\bigl(f(x)\bigr): \mathbb{R}.

Resposta

f(g(x)) = 1 - x^{3}, domínio = \mathbb{R}
g(f(x)) = \sqrt[3]{1 - x^{9}}, domínio = \mathbb{R}

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