Encontre f(g(x)) e g(f(x)). Determine o domínio de cada função.
f(x)=x^{2}-2 ; g(x)=\sqrt{x+1}

Passo 1

O enunciado dá duas funções
f(x)=x^{2}-2
e
g(x)=\sqrt{x+1}
e pede para encontrar as composições f\bigl(g(x)\bigr) e g\bigl(f(x)\bigr), além de determinar o domínio de cada uma. O conteúdo aqui é composição de funções e análise de domínio via restrições de raiz.

Passo 2

Para calcular f\bigl(g(x)\bigr), substituímos g(x) em f:
f\bigl(g(x)\bigr)=f\bigl(\sqrt{x+1}\bigr)=\bigl(\sqrt{x+1}\bigr)^{2}-2=x+1-2=x-1.
O domínio de f\bigl(g(x)\bigr) é o conjunto de x para os quais g(x) está definido, pois f aceita qualquer real. Como g(x)=\sqrt{x+1} exige
x+1\ge0\quad\Longrightarrow\quad x\ge-1,
temos
\Dom\bigl(f\circ g\bigr)=[-1,\infty).

Passo 3

Para calcular g\bigl(f(x)\bigr), substituímos f(x) em g:
g\bigl(f(x)\bigr)=g\bigl(x^{2}-2\bigr)=\sqrt{\bigl(x^{2}-2\bigr)+1}=\sqrt{x^{2}-1}.
O domínio de g\bigl(f(x)\bigr) vem da exigência do radicando não negativo:
x^{2}-1\ge0\quad\Longrightarrow\quad x^{2}\ge1\quad\Longrightarrow\quad x\le-1\\ \text{ou}\\ x\ge1.
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\Dom\bigl(g\circ f\bigr)=(-\infty,-1]\cup[1,\infty).

Resposta

f(g(x))=x-1, com \Dom(f\circ g)=[-1,\infty).
g(f(x))=\sqrt{x^{2}-1}, com \Dom(g\circ f)=(-\infty,-1]\cup[1,\infty).

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