Encontre uma equação na forma padrão para a parábola que satisfaz as condições dadas.
\operatorname{Foco}(0,5), diretriz y=-5

Passo 1

O enunciado pede a equação da parábola cujo foco é (0,5) e cuja diretriz é a reta y=-5. O conteúdo aqui é a definição de parábola como o lugar geométrico dos pontos que têm igual distância ao foco e à diretriz. Para resolver vamos usar essa definição, escrever a condição de distância e passar para a forma padrão (x-h)^2=4p(y-k).

Passo 2

Seja (x,y) um ponto genérico da parábola. A distância desse ponto ao foco (0,5) é
\sqrt{(x-0)^2+(y-5)^2}
e a distância até a diretriz y=-5 é
|y - (-5)| = |y+5|.
Pela definição da parábola, essas duas distâncias são iguais.

Passo 3

Igualando e elevando ao quadrado, temos
(x-0)^2+(y-5)^2 = (y+5)^2.
Isso é
x^2 + y^2 -10y +25 = y^2 +10y +25
x^2 -10y = 10y
x^2 = 20y.

Passo 4

A equação x^2=20y já está na forma padrão (x-0)^2 = 4p(y-0), de onde vemos que o vértice é (0,0) e 4p=20, ou seja p=5, confirmando que o foco fica a 5 unidades acima do vértice e a diretriz a 5 unidades abaixo.

Resposta

x^2 = 20y

Exercícios de Livros Relacionados