Encontre e esboce o potencial. Obtenha o potencial complexo:
Entre os eixos (potencial de 110 V ) e a hipérbole x y=1 (potencial de 60 V )

Passo 1

O enunciado pede o potencial eletrostático num domínio em coordenadas cartesianas (x,y) limitado pelos eixos x=0, y=0 (primeiro quadrante) e pela hipérbole xy=1. As condições de contorno são
\varphi(x,0)=\varphi(0,y)=110\quad\text{e}\quad \varphi(x,y)\big|_{xy=1}=60.
Vamos resolver \Delta\varphi=0 procurando uma forma simples que satisfaça essas condições e, em seguida, obter o potencial complexo W(z).

Passo 2

Como as condições envolvem apenas o produto xy, tentamos a forma
\varphi(x,y)=A\,x y + B.
Calculamos a Laplaciana:
\frac{\partial^2\varphi}{\partial x^2}=0,\quad \frac{\partial^2\varphi}{\partial y^2}=0 \quad\Longrightarrow\quad \Delta\varphi=0,
logo esta forma é harmônica para quaisquer A,B.

Passo 3

Impondo as condições de contorno:
– Nos eixos xy=0 deve valer \varphi=110, logo
B=110.
– Na hipérbole xy=1 deve valer \varphi=60, logo
A\cdot1 +110 =60 \quad\Longrightarrow\quad A=-50.
Portanto
\varphi(x,y)=110 \;-\;50\,x y.

Passo 4

Para achar o potencial complexo W(z)=\varphi+i\psi devemos ter u(x,y)=\varphi(x,y) harmônico e satisfazendo as equações de Cauchy–Riemann
u_x = v_y,\quad u_y = -v_x.
Supondo
W(z)=110 + C\,z^2,
com z=x+i y, temos
z^2=x^2-y^2 +2i\,x y,
W(z)=110 + C\bigl(x^2-y^2\bigr) +2i\,C\,x y.
Queremos \Re W=110 -50xy, portanto 2\,C deve ser -50\,i, i.e. C=25\,i.

Passo 5

Com C=25\,i obtemos
W(z)=110 +25\,i\,z^2,
de onde
\varphi(x,y)=\Re W=110 -50\,x y, \qquad \psi(x,y)=\Im W=25\bigl(x^2 - y^2\bigr).

Passo 6

Esboço qualitativo das equipotenciais e linhas de corrente:
– As linhas de mesma \varphi são as hipérbolas
xy=\frac{110-\varphi}{50}.
– As linhas de corrente (superfícies de \psi) são as curvas
x^2 - y^2=\mathrm{const}.
No primeiro quadrante, as equipotenciais variam de 110 (nos eixos) até 60 (na hipérbole xy=1), sendo hiperbolóides achatadas junto ao eixo x e y.

Resposta

\boxed{ \varphi(x,y)=110 -50\,xy,\quad \psi(x,y)=25\,(x^2 - y^2),\quad W(z)=110 +25\,i\,z^2. }

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