Encontre e esboce o potencial. Obtenha o potencial complexo:
Entre os eixos (potencial de 110 V ) e a hipérbole
(potencial de 60 V )
Entre os eixos (potencial de 110 V ) e a hipérbole
Passo 1
O enunciado pede o potencial eletrostático num domínio em coordenadas cartesianas
limitado pelos eixos
,
(primeiro quadrante) e pela hipérbole
. As condições de contorno são
Vamos resolver
procurando uma forma simples que satisfaça essas condições e, em seguida, obter o potencial complexo
.
Passo 2
Como as condições envolvem apenas o produto
, tentamos a forma
Calculamos a Laplaciana:
logo esta forma é harmônica para quaisquer
.
Passo 3
Impondo as condições de contorno:
– Nos eixos deve valer
, logo
– Nos eixos
– Na hipérbole
deve valer
, logo
Portanto
Passo 4
Para achar o potencial complexo
devemos ter
harmônico e satisfazendo as equações de Cauchy–Riemann
Supondo
com
, temos
Queremos
, portanto
deve ser
, i.e.
.
Passo 5
Com
obtemos
de onde
Passo 6
Esboço qualitativo das equipotenciais e linhas de corrente:
– As linhas de mesma são as hipérbolas
– As linhas de mesma
– As linhas de corrente (superfícies de
) são as curvas
No primeiro quadrante, as equipotenciais variam de
(nos eixos) até
(na hipérbole
), sendo hiperbolóides achatadas junto ao eixo
e
.