Encontre uma forma fechada para a função generalizada de cada uma das seqüências abaixo. (Para cada seqüência, utilize a escolha mais óbvia de uma seqüência que contenha os termos iniciais listados.)
0,2,2,2,2,2,2,0,0,0,0,0, \ldots

Passo 1

O enunciado pede uma forma fechada (fórmula) para a sequência que começa
0, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 0, 0, …
Isso é material de sinais e sistemas: vamos usar a função de passo unitário (Heaviside) para “ligar” o valor 2 exatamente nos índices desejados.

Passo 2

Observe que, se indicarmos os termos por a[n] com n inteiro e começando em n=0, temos
- a[0]=0,
- a[n]=2 para n=1,2,3,4,5,6,
- a[n]=0 para n\ge7.

Passo 3

Definimos a função de passo unitário
u[n]= \begin{cases} 0, & n<0,\\\\ 1, & n\ge0. \end{cases}
Então u[n-k] “liga” em n=k e vale 1 para todo n\ge k.

Passo 4

Para fazer com que a[n] valha 2 só entre n=1 e n=6, usamos a diferença de dois passos:
u[n-1] \quad\text{é 1 para }n\ge1,\quad u[n-7]\quad\text{é 1 para }n\ge7.éé
Logo,
a[n]=2\bigl(u[n-1]-u[n-7]\bigr)
é zero para n<1, vale 2 para 1\le n\le6 e volta a ser zero para n\ge7.

Resposta

a[n]=2\bigl(u[n-1]-u[n-7]\bigr).

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