Encontre o quociente q(x) e o resto r(x) que resulta da divisão de p(x) por s(x).
p(x)=x^{4}+3 x^{3}-5 x+10 ; s(x)=x^{2}-x+2

Passo 1

O enunciado pede para dividir o polinômio
p(x)=x^{4}+3x^{3}-5x+10
pelo polinômio
s(x)=x^{2}-x+2,
obtendo o quociente q(x) e o resto r(x). O método é a divisão de polinômios, em que a cada passo dividimos o termo de maior grau do dividendo pelo termo de maior grau do divisor, subtraímos e prosseguimos até que o grau do resto seja inferior ao do divisor.

Passo 2

Identificamos o termo líder de p(x) que é x^{4} e o de s(x) que é x^{2}. Assim o primeiro termo do quociente é
x^{4} \div x^{2} = x^{2}.
Multiplicamos s(x) por x^{2}:
x^{2}\,(x^{2}-x+2)=x^{4}-x^{3}+2x^{2},
e subtraímos de p(x):
(x^{4}+3x^{3}+0x^{2})-(x^{4}-x^{3}+2x^{2}) =4x^{3}-2x^{2}.
Baixamos o termo -5x, ficando o novo dividendo 4x^{3}-2x^{2}-5x.

Passo 3

Agora dividimos 4x^{3} por x^{2}:
4x^{3}\div x^{2}=4x.
Multiplicamos s(x) por 4x:
4x\,(x^{2}-x+2)=4x^{3}-4x^{2}+8x,
e subtraímos de 4x^{3}-2x^{2}-5x:
(4x^{3}-2x^{2}-5x)-(4x^{3}-4x^{2}+8x) =2x^{2}-13x.
Baixamos o +10, obtendo 2x^{2}-13x+10.

Passo 4

Dividimos 2x^{2} por x^{2}:
2x^{2}\div x^{2}=2.
Multiplicamos s(x) por 2:
2\,(x^{2}-x+2)=2x^{2}-2x+4,
e subtraímos de 2x^{2}-13x+10:
(2x^{2}-13x+10)-(2x^{2}-2x+4) =-11x+6.
Como o grau de -11x+6 é menor que o grau de s(x), este é o resto final.

Passo 5

Reunindo os termos do quociente obtidos em cada passo, temos
q(x)=x^{2}+4x+2
e o resto
r(x)=-11x+6.

Resposta

q(x)=x^{2}+4x+2,\quad r(x)=-11x+6.

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