Encontre os três primeiros têrmos não nulos da Série de Maclaurin de cada uma das seguintes funções, e para as indicadas com um asterisco, ache o intervalo de convergência e estabeleça se a soma é a função dada.
Passo 1
O enunciado pede a Série de Maclaurin de
isto é, desenvolver em potências de ao redor de , e extrair os três primeiros termos não nulos. Como essa função admite expansão em série geométrica (é do tipo ), vamos usar esse fato. Além disso, como ela está indicada com asterisco, precisamos achar o intervalo de convergência e verificar se, dentro dele, a soma da série coincide com .
Passo 2
Lembrando que, para ,
podemos colocar . Então
Passo 3
Os três primeiros termos não nulos correspondem a . Logo:
Portanto os três primeiros termos não nulos são
Passo 4
O raio de convergência vem da condição , ou seja , o que equivale a
|x|<1
Passo 5
Para verificar que a soma da série efetivamente retorna (1+x^2)^-1 quando |x|<1, note que, definida