Encontre os três primeiros têrmos não nulos da Série de Maclaurin de cada uma das seguintes funções, e para as indicadas com um asterisco, ache o intervalo de convergência e estabeleça se a soma é a função dada.
(1+x^2)^-1

Passo 1

O enunciado pede a Série de Maclaurin de
f(x)=l(1+x^2r)^-1,
isto é, desenvolver f(x) em potências de x ao redor de x=0, e extrair os três primeiros termos não nulos. Como essa função admite expansão em série geométrica (é do tipo (1 - t)^-1), vamos usar esse fato. Além disso, como ela está indicada com asterisco, precisamos achar o intervalo de convergência e verificar se, dentro dele, a soma da série coincide com f(x).

Passo 2

Lembrando que, para |t|<1,
11 - t ;=; sumn=0^infty t^n,
podemos colocar t = -,x^2. Então
11 + x^2 =11 - (-x^2) =sumn=0^infty(-x^2)^n =sumn=0^infty(-1)^n x^2n

Passo 3

Os três primeiros termos não nulos correspondem a n=0,1,2. Logo:
11+x^2 =1 ;-; x^2 ;+; x^4 ;-;cdots
Portanto os três primeiros termos não nulos são
1, -,x^2, x^4

Passo 4

O raio de convergência vem da condição |t|<1, ou seja l|-x^2r|<1, o que equivale a
|x|<1

Passo 5

Para verificar que a soma da série efetivamente retorna (1+x^2)^-1 quando |x|<1, note que, definida
S(x)=sumn=0^infty(-1)^n x^2n,
temos
(1+x^2),S(x) =sumn=0^infty(-1)^n x^2n +sumn=0^infty(-1)^n x^2n+2 =underbrace1n=0-underbracex^2n=1+cdots +underbracex^2n=0-underbracex^4n=1+cdots =1
Logo S(x)=1/(1+x^2) para |x|<1.

Resposta

Os três primeiros termos não nulos são
1 ;-; x^2 ;+; x^4
O intervalo de convergência é |x|<1, e dentro desse intervalo a série converge exatamente para 11+x^2.

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