Ache os seguintes números com precisão até a terceira casa decimal:
raiz127

Passo 1

O enunciado pede para calcular raiz127 com precisão até a terceira casa decimal (isto é, até o milésimo). Como 127 não é quadrado perfeito, vamos usar o método de Newton (também chamado método de Herão) para aproximar a raiz quadrada de um número, resolvendo a equação
f(x)=x^2-127=0
A iteração de Newton é dada por
xn+1=xn + 127xn2

Passo 2

Escolhemos um palpite inicial razoável. Como raiz121=11 e raiz144=12, um bom chute é x0=11,3. Aplicando a fórmula:
x1 = 11,3 + 12711,32 approx 11,3 + 11,239822 approx 11,26991

Passo 3

Repetimos a iteração para refinar a aproximação:
x2 = 11,26991 + 12711,269912 approx 11,26991 + 11,269432 approx 11,26967,
x3 = 11,26967 + 12711,269672 approx 11,26943
A partir de x2 e x3 vemos que o valor já se estabiliza em torno de 11,26943, com variação menor que 10^-6.

Passo 4

Para obter a resposta com três casas decimais, observamos a quarta casa decimal de 11,26943, que é 4<5, então não arredondamos a terceira casa. Logo:
raiz127approx 11,269

Resposta

11,269

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