Encontre os três primeiros têrmos não nulos da Série de Maclaurin de cada uma das seguintes funções, e para as indicadas com um asterisco, ache o intervalo de convergência e estabeleça se a soma é a função dada.
ln (cos x)

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos os três primeiros termos não nulos da série de Maclaurin de ln(cos x) e, como foi marcada com asterisco, determinar o intervalo de convergência e verificar se a soma da série é de fato ln(cos x).\nConteúdo: expansão em série de Taylor–Maclaurin, uso da série de cos x e da expansão de ln(1+u).

Passo 2

Expandir cos x até a ordem x^6:
cos x = 1 - x^22 + x^424 - x^6720 + O(x^8)

Passo 3

Escrever
ln(cos x)=lnl(1+ur),
onde
u = cos x -1 = -x^22 + x^424 - x^6720 + O(x^8)
Calcular também
u^2 = x^44 - x^612 + O(x^8), u^3 = -x^68 + O(x^8)

Passo 4

Usar a série
ln(1+u)=u - u^22 + u^33 + O(u^4)
e coletar os termos até x^6:
– termo em x^2: -tfrac12x^2.
– termo em x^4: tfrac124x^4 - tfrac12cdottfrac14x^4 = -tfrac112x^4.
– termo em x^6: -tfrac1720x^6 + tfrac12cdottfrac112x^6 - tfrac13cdottfrac18x^6 = -tfrac145x^6

Passo 5

O raio de convergência vem da singularidade mais próxima de ln(cos x), que ocorre quando cos x=0, isto é em x=pmpi2. Portanto a série converge para lvert xrvert<pi2.

Passo 6

Como ln(cos x) é analítica em (-tfracpi2,tfracpi2) e a expansão de Maclaurin coincide com ela nesse intervalo, a soma da série é de fato ln(cos x) para lvert xrvert<tfracpi2.

Resposta

ln(cos x) = -x^22 ;-;x^412;-;x^645 + O(x^8),
intervalo de convergência l(-tfracpi2,tfracpi2r), e a série soma exatamente ln(cos x) nesse intervalo.

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