Encontre os três primeiros têrmos não nulos da Série de Maclaurin de cada uma das seguintes funções, e para as indicadas com um asterisco, ache o intervalo de convergência e estabeleça se a soma é a função dada.
Passo 1
Resumindo o enunciado: queremos os três primeiros termos não nulos da série de Maclaurin de
e, como foi marcada com asterisco, determinar o intervalo de convergência e verificar se a soma da série é de fato
.\nConteúdo: expansão em série de Taylor–Maclaurin, uso da série de
e da expansão de
.
Passo 2
Expandir
até a ordem
:
Passo 3
Escrever
onde
Calcular também
Passo 4
Usar a série
e coletar os termos até
:
– termo em :
.
– termo em :
.
– termo em :
– termo em
– termo em
– termo em
Passo 5
O raio de convergência vem da singularidade mais próxima de
, que ocorre quando
, isto é em
. Portanto a série converge para
.
Passo 6
Como
é analítica em
e a expansão de Maclaurin coincide com ela nesse intervalo, a soma da série é de fato
para
.
Resposta
intervalo de convergência
, e a série soma exatamente
nesse intervalo.