Encontre o vértice, o foco, a diretriz e a largura focal da parábola.
5 y^{2}=16 x

Passo 1

O enunciado dá a parábola
5y^{2}=16x
e pede vértice, foco, diretriz e largura focal. Estamos em Seções Cônicas, mais precisamente parábolas do tipo
y^{2}=4p\,x.
Para resolver, vamos reescrever a equação no padrão y^{2}=4p\,x e identificar p.

Passo 2

Dividindo por 5 obtemos
y^{2}=\frac{16}{5}\,x.
Comparando com y^{2}=4p\,x, vemos que
4p=\frac{16}{5} \quad\Longrightarrow\quad p=\frac{4}{5}.

Passo 3

Como a forma é y^{2}=4p\,x com p>0, a parábola abre para a direita e o vértice está na origem.
Vértice: \,(0,0).

Passo 4

O foco fica a uma distância p do vértice, sobre o eixo x.
Foco: \bigl(p,0\bigr)=\bigl(\tfrac{4}{5},0\bigr).

Passo 5

A diretriz é a reta perpendicular ao eixo que fica a p unidades atrás do vértice.
Diretriz:
x=-p \quad\Longrightarrow\quad x=-\frac{4}{5}.

Passo 6

A largura focal (ou comprimento da latus rectum) é \bigl|4p\bigr|.
Largura focal:
4p=4\cdot\frac{4}{5}=\frac{16}{5}.

Resposta

Vértice: (0,0)
Foco: \bigl(\tfrac{4}{5},0\bigr)
Diretriz: x=-\tfrac{4}{5}
Largura focal: \tfrac{16}{5}

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