[07] Enuncie cuidadosamente o teorema da função implícita para
.
Passo 1
O enunciado pede que a gente formule com cuidado o Teorema da Função Implícita no caso de uma função de três variáveis reais. O conteúdo aqui é análise em várias variáveis: dado um escalar
de classe
, quando podemos resolver a equação
para escrever
como função de
?
Passo 2
Hipóteses do teorema. Seja
um aberto e
uma função de classe
. Seja
tal que
e que a derivada parcial em relação a
não se anule nesse ponto, ou seja,
Passo 3
Conclusão de existência e unicidade. Então existem abertos
contendo
e
contendo
e existe uma única função
de classe
tal que
Passo 4
Expressão das derivadas de
. Além disso, para todo
vale
Resposta
Sejam
aberto e
de classe
. Se em
temos
então existem abertos
contendo
e
contendo
e uma única função
de classe
tal que
e
Ademais, suas derivadas parciais são dadas por
avaliadas em
.