[07] Enuncie cuidadosamente o teorema da função implícita para R^3.

Passo 1

O enunciado pede que a gente formule com cuidado o Teorema da Função Implícita no caso de uma função de três variáveis reais. O conteúdo aqui é análise em várias variáveis: dado um escalar F(x,y,z) de classe C^1, quando podemos resolver a equação F(x,y,z)=0 para escrever z como função de (x,y)?

Passo 2

Hipóteses do teorema. Seja UsubsetR^3 um aberto e
F:UlongrightarrowR
uma função de classe C^1. Seja (a,b,c)in U tal que
F(a,b,c)=0
e que a derivada parcial em relação a z não se anule nesse ponto, ou seja,
partial Fpartial z(a,b,c)neq0

Passo 3

Conclusão de existência e unicidade. Então existem abertos VsubsetR^2 contendo (a,b) e WsubsetR contendo c e existe uma única função
varphi:Vlongrightarrow W
de classe C^1 tal que
varphi(a,b)=c e Fl(x,y,varphi(x,y)r)=0 forall,(x,y)in V

Passo 4

Expressão das derivadas de varphi. Além disso, para todo (x,y)in V vale
partial varphipartial x(x,y) =- partial Fpartial xl(x,y,varphi(x,y)r) partial Fpartial zl(x,y,varphi(x,y)r), partial varphipartial y(x,y) =- partial Fpartial yl(x,y,varphi(x,y)r) partial Fpartial zl(x,y,varphi(x,y)r)

Resposta

Sejam UsubsetR^3 aberto e F:UtoR de classe C^1. Se em (a,b,c)in U temos
F(a,b,c)=0 e partial Fpartial z(a,b,c)neq0,
então existem abertos VsubsetR^2 contendo (a,b) e WsubsetR contendo c e uma única função varphi:Vto W de classe C^1 tal que varphi(a,b)=c e
Fl(x,y,varphi(x,y)r)=0 forall,(x,y)in V
Ademais, suas derivadas parciais são dadas por
partial varphipartial x =-FxFz, partial varphipartial y =-FyFz,
avaliadas em l(x,y,varphi(x,y)r).

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