Ex. 1.9 - Na equação x^2-2 m x+m-1=0 determine m de modo que:
as raízes sejam inversas, i.e, x1=1x2

Passo 1

O enunciado dá a equação quadrática
x^2 - 2m,x + (m - 1) = 0
e pede m de modo que as raízes x1 e x2 sejam inversas, isto é, x1 = 1/x2.
Para resolver, vamos usar as relações de Viète, que dizem que, para
a x^2 + b x + c = 0,
temos
x1 + x2 = -ba, x1 x2 = ca

Passo 2

Aplicando Viète à nossa equação ( a=1, b=-2m, c=m-1), obtemos
x1x2 = m - 11 = m - 1
Como queremos x1 = 1x2, isso implica
x1x2 = 1
Logo, deve valer
m - 1 = 1

Passo 3

Resolvendo
m - 1 = 1
vem
m = 2

Passo 4

Para garantir que em m=2 as raízes são reais e distintas (de modo a realmente termos duas inversas diferentes), calculamos o discriminante:
De<a = (-2m)^2 - 4cdot1cdot(m-1) = (-4)^2 - 4,(2-1) =16 - 4 = 12 > 0
Portanto, para m=2 existem duas raízes reais e elas satisfazem x1 = 1/x2.

Resposta

m = 2

Exercícios de Livros Relacionados