Resumindo, queremos resolver a desigualdade lvert x^2-2rvert +2x+1>=0.
O conteúdo é valor absoluto, então vamos tratar em dois casos: 1) x^2-2>=0 2) x^2-2<0
Passo 2
Caso x^2-2>=0, ou seja x<= -raiz2 ou x>=raiz2.
Nesse caso lvert x^2-2rvert = x^2-2 e a desigualdade fica
x^2-2 + 2x + 1 >= 0
ou seja
x^2+2x-1>=0
As raízes da quadrática são
x = -2pmraiz4+42 = -1pmraiz2,
e como o coeficiente de x^2 é positivo, ela é não negativa para
x<= -1-raiz2 ou x>= -1+raiz2
Intersectando com x<= -raiz2 ou x>=raiz2 obtemos
x<= -1-raiz2 ou x>= raiz2
Passo 3
Caso x^2-2<0, isto é -raiz2<x<raiz2.
Aqui lvert x^2-2rvert = 2 - x^2 e a desigualdade vira
2 - x^2 + 2x + 1 >= 0
ou
-x^2+2x+3>=0,
equivalente a
x^2-2x-3<=0
As raízes são
x = 2pmraiz4+122 = -1 e 3,
e, como o coeficiente de x^2 é positivo, isso dá
-1 <= x <= 3
Intersectando com -raiz2<x<raiz2 (aprox. -1,414<x<1,414) resulta
-1 <= x < raiz2
Passo 4
Unindo as soluções dos dois casos, obtemos
(-infty,,-1-raiz2] ;cup; [-1,infty)
Resposta
(-infty,,-1-raiz2] cup [-1,infty)
Cálculo - Armando Caputi e Daniel Miranda - Bases Matemáticas - 1ª Edição - Capítulo Apêndice A.2 - Ex. 1.11.h