19. A equação diferencial de Chebyshev

\left(1-x^{2}\right) y^{\prime \prime}-x y^{\prime}+n^{2} y=0
tem uma solução polinomial y=T_{n}(x) para n=0,1,2, \ldots. Especifique a função de peso p(x) e o intervalo no qual o conjunto de polinômios de Chebyshev \left\{T_{n}(x)\right\} é ortogonal. Defina uma relação de ortogonalidade.

Passo 1

O enunciado apresenta a equação diferencial de Chebyshev
(1 - x^2)\,y'' - x\,y' + n^2\,y = 0,
cuja solução polinomial é y = T_n(x) para n=0,1,2,\dots. O objetivo é identificar em qual intervalo esses polinômios são ortogonais, qual a função de peso p(x) e escrever a relação de ortogonalidade.

Passo 2

Sabe-se da teoria de Sturm–Liouville que os polinômios de Chebyshev de primeira espécie surgem como autovalores de um problema singular no intervalo [-1,1] e que a função de peso associada é
p(x)=\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}.
Isso decorre do fato de que, após manipular a equação em forma auto-adjunta, aparece esse p(x) natural.

Passo 3

Portanto, o intervalo de ortogonalidade é
-1 \le x \le 1
e a função de peso é
p(x)=\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}.

Passo 4

A ortogonalidade fica caracterizada pela integral
\int_{-1}^{1} T_m(x)\,T_n(x)\,\frac{dx}{\sqrt{1 - x^2}} = 0 \quad\text{para }m \neq n.
Para completar, temos também as constantes de normalização:
\int_{-1}^{1} \bigl[T_n(x)\bigr]^2\frac{dx}{\sqrt{1 - x^2}} =\begin{cases} \pi, & n=0,\\\ \dfrac{\pi}{2}, & n\ge1. \end{cases}

Resposta

Função de peso:
p(x)=\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}},
intervalo de ortogonalidade: [-1,1], e relação de ortogonalidade
\int_{-1}^{1} T_m(x)\,T_n(x)\,\frac{dx}{\sqrt{1 - x^2}} = 0\quad(m\neq n),
com
\int_{-1}^{1} \bigl[T_n(x)\bigr]^2\frac{dx}{\sqrt{1 - x^2}} =\begin{cases} \pi, & n=0,\\\ \pi/2, & n\ge1. \end{cases}

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