19. A equação diferencial de Chebyshev
tem uma solução polinomial
para
. Especifique a função de peso
e o intervalo no qual o conjunto de polinômios de Chebyshev
é ortogonal. Defina uma relação de ortogonalidade.
Passo 1
O enunciado apresenta a equação diferencial de Chebyshev
cuja solução polinomial é
para
. O objetivo é identificar em qual intervalo esses polinômios são ortogonais, qual a função de peso
e escrever a relação de ortogonalidade.
Passo 2
Sabe-se da teoria de Sturm–Liouville que os polinômios de Chebyshev de primeira espécie surgem como autovalores de um problema singular no intervalo
e que a função de peso associada é
Isso decorre do fato de que, após manipular a equação em forma auto-adjunta, aparece esse
natural.
Passo 3
Portanto, o intervalo de ortogonalidade é
e a função de peso é
Passo 4
A ortogonalidade fica caracterizada pela integral
Para completar, temos também as constantes de normalização:
Resposta
Função de peso:
intervalo de ortogonalidade:
, e relação de ortogonalidade
com