Expanda f(x)=2 x^{2}-1,-1<x<1, em uma série de Fourier.

Passo 1

O enunciado pede para expandir
f(x)=2x^{2}-1,\quad -1<x<1
em série de Fourier de período 2. Esse é um caso clássico de função par em [-1,1], logo a expansão terá apenas termos de cosseno:
f(x)\sim \frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\cos\bigl(n\pi x\bigr).
Para isso precisaremos calcular as coeficientes
a_{0}=\int_{-1}^{1}f(x)\,dx, \quad a_{n}=\int_{-1}^{1}f(x)\cos\bigl(n\pi x\bigr)\,dx,
e observar que b_{n}=0 por paridade.

Passo 2

Calculamos primeiro
a_{0}=\int_{-1}^{1}\bigl(2x^{2}-1\bigr)\,dx =2\int_{-1}^{1}x^{2}\,dx-\int_{-1}^{1}1\,dx =2\cdot\frac{2}{3}-2 =\frac{4}{3}-2 =-\frac{2}{3}.
Portanto a contribuição constante é
\frac{a_{0}}{2}=-\frac{1}{3}.

Passo 3

Por f(x) ser função par, todos os coeficientes seno são nulos:
b_{n}=\int_{-1}^{1}f(x)\sin(n\pi x)\,dx=0.

Passo 4

Calculamos agora
a_{n} =\int_{-1}^{1}\bigl(2x^{2}-1\bigr)\cos(n\pi x)\,dx =2\int_{-1}^{1}x^{2}\cos(n\pi x)\,dx -\int_{-1}^{1}\cos(n\pi x)\,dx.
Observe que
\int_{-1}^{1}\cos(n\pi x)\,dx =\left.\frac{\sin(n\pi x)}{n\pi}\right|_{-1}^{1} =\frac{\sin(n\pi)-\sin(-n\pi)}{n\pi}=0,
e, por paridade,
\int_{-1}^{1}x^{2}\cos(n\pi x)\,dx =2\int_{0}^{1}x^{2}\cos(n\pi x)\,dx.
Chamando
I=\int_{0}^{1}x^{2}\cos(n\pi x)\,dx,
usamos integração por partes duas vezes e obtemos
I =\frac{\bigl(n\pi\bigr)^{2}-2}{\bigl(n\pi\bigr)^{3}}\sin(n\pi) +\frac{2}{\bigl(n\pi\bigr)^{2}}\cos(n\pi) =\frac{2(-1)^{n}}{\bigl(n\pi\bigr)^{2}},
pois \sin(n\pi)=0 e \cos(n\pi)=(-1)^{n}. Assim
a_{n} =2\cdot 2I =4\cdot\frac{2(-1)^{n}}{\bigl(n\pi\bigr)^{2}} =\frac{8(-1)^{n}}{n^{2}\pi^{2}}.

Passo 5

Reunindo tudo, a série de Fourier de f(x) em [-1,1] é
f(x) =\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\cos(n\pi x) =-\frac{1}{3} +\sum_{n=1}^{\infty}\frac{8(-1)^{n}}{n^{2}\pi^{2}}\cos\bigl(n\pi x\bigr).

Resposta

\boxed{ f(x) =-\frac{1}{3} +\sum_{n=1}^{\infty}\frac{8(-1)^{n}}{n^{2}\pi^{2}}\cos\bigl(n\pi x\bigr). }

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