Determine os autovalores e autofunções do problema de valor de contorno
x^{2} y^{\prime \prime}+x y^{\prime}+9 \lambda y=0, \quad y^{\prime}(1)=0, \quad y(e)=0

Passo 1

O enunciado pede os autovalores \lambda e autofunções y(x) do problema de valor de contorno
x^{2}y''(x)+x\,y'(x)+9\lambda\,y(x)=0,\quad y'(1)=0,\quad y(e)=0.
Este é um caso de equação de Euler (ou equidimensional). Para resolver, vamos usar a transformação
t=\ln x,
que converte a equação numérica em uma EDO com coeficientes constantes e adapta as condições de contorno para o novo domínio t\in[0,1].

Passo 2

Aplicando t=\ln x, temos
\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x}\frac{dy}{dt}, \quad \frac{d^2y}{dx^2}=\frac{1}{x^2}\Bigl(\frac{d^2y}{dt^2}-\frac{dy}{dt}\Bigr).
Logo
x^2y''+x\,y' =\Bigl(\frac{d^2y}{dt^2}-\frac{dy}{dt}\Bigr)+\frac{dy}{dt} =\frac{d^2y}{dt^2}.
Assim a equação vira
\frac{d^2y}{dt^2}+9\lambda\,y=0,
em t\in[0,1]. Agora as condições de contorno:
- y'(1)=0 em x vira
\displaystyle y'(1)=\frac{1}{1}y'_t(0)=0, isto é
y'_t(0)=0.
- y(e)=0 em x corresponde a t=\ln e=1, ou seja
y(1)=0.

Passo 3

Chamando \omega^2=9\lambda, a EDO é
y''(t)+\omega^2y(t)=0.
A solução geral é
y(t)=A\cos(\omega t)+B\sin(\omega t).

Passo 4

Impondo y'_t(0)=0, calculamos
y'_t(t)=-A\,\omega\sin(\omega t)+B\,\omega\cos(\omega t),
então em t=0
y'_t(0)=B\,\omega=0 \quad\Longrightarrow\quad B=0\quad(\omega\neq0).
Fica
y(t)=A\cos(\omega t).

Passo 5

A condição y(1)=0
A\cos(\omega\cdot1)=0 \quad\Longrightarrow\quad \cos(\omega)=0 \quad\Longrightarrow\quad \omega=\frac{(2n+1)\pi}{2},\quad n=0,1,2,\dots
Logo
\omega_n^2=\frac{(2n+1)^2\pi^2}{4} \quad\Longrightarrow\quad \lambda_n=\frac{\omega_n^2}{9} =\frac{(2n+1)^2\pi^2}{36}.

Passo 6

Voltando à variável x via t=\ln x, as autofunções (até constante) são
y_n(x) =\cos\!\bigl(\omega_n\ln x\bigr) =\cos\!\bigl(\tfrac{2n+1}{2}\pi\,\ln x\bigr),
com n=0,1,2,\dots.

Resposta

Os autovalores e autofunções são
\lambda_n=\frac{(2n+1)^2\pi^2}{36},\quad y_n(x)=\cos\!\Bigl(\tfrac{2n+1}{2}\pi\,\ln x\Bigr), \quad n=0,1,2,\dots

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