Determine os autovalores e autofunções do problema de valor de contorno
Passo 1
O enunciado pede os autovalores
e autofunções
do problema de valor de contorno
Este é um caso de equação de Euler (ou equidimensional). Para resolver, vamos usar a transformação
que converte a equação numérica em uma EDO com coeficientes constantes e adapta as condições de contorno para o novo domínio
.
Passo 2
Aplicando
, temos
Logo
Assim a equação vira
em
. Agora as condições de contorno:
- em
vira
, isto é
-
-
em
corresponde a
, ou seja
Passo 3
Chamando
, a EDO é
A solução geral é
Passo 4
Impondo
, calculamos
então em
Fica
Passo 5
A condição
dá
Logo
Passo 6
Voltando à variável
via
, as autofunções (até constante) são
com
.
Resposta
Os autovalores e autofunções são