Se a equação a x^2+b x+c=0, a neq 0, admite as raízes reais não nulas x1 e x2, obtenha a equação de raízes:
x1x2 e x2x1

Passo 1

Resumindo: temos a equação ,a x^2+b x+c=0, com aneq0 e raízes reais não nulas x1 e x2. Queremos achar a equação de segundo grau cujas raízes são
y1 = x1x2 e y2 = x2x1
O conteúdo principal é usar as relações de Viète para obter soma e produto dessas novas raízes.

Passo 2

Pelas relações de Viète na equação original temos
x1+x2 = -ba, x1x2 = ca

Passo 3

Definindo y1 = x1/x2 e y2 = x2/x1, calculamos
y1+y2 = x1x2 + x2x1 = x1^2 + x2^2x1x2 = (x1+x2)^2 - 2,x1x2x1x2,
e
y1y2 = x1x2cdotx2x1 =1

Passo 4

Substituindo x1+x2 = -b/a e x1x2 = c/a em y1+y2, vem
y1+y2 = l(-tfracbar)^2 - 2,tfraccatfracca = tfracb^2a^2 - tfrac2catfracca = b^2 - 2acac

Passo 5

A equação cujo soma das raízes é S = (b^2-2ac)/(ac) e produto P=1 é
t^2 - S,t + P = 0 Longrightarrow t^2 - b^2-2acac,t + 1 = 0
Multiplicando tudo por ac (que é não nulo), obtemos a forma com coeficientes inteiros:
ac,t^2 - l(b^2-2acr),t + ac = 0

Resposta

A equação de segundo grau cujas raízes são tfracx1x2 e tfracx2x1 é
ac,x^2 - l(b^2 - 2acr),x + ac = 0

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