Dê a equação da reta suporte de um segmento que tem centro P(3,0) e extremidade em cada uma das retas 2 x-y-2=0 e x+y+3=0.

Passo 1

O enunciado pede a equação da reta que passa pelos dois extremos A e B de um segmento cujo ponto médio é P(3,0), sendo A sobre a reta
2x-y-2=0
e B sobre a reta
x+y+3=0
O conteúdo é geometria analítica de reta e ponto médio: vamos introduzir coordenadas para A e B, impor as condições de pertença às retas dadas e a condição de ponto médio, e então achar a reta suporte.

Passo 2

Sejam
A=(x1,y1), B=(x2,y2)
Como P é o ponto médio de AB, temos
x1+x22=3 Longrightarrow x1+x2=6,
y1+y22=0 Longrightarrow y1+y2=0
Além disso, A satisfaz 2x1-y1-2=0 e B satisfaz x2+y2+3=0.

Passo 3

Da condição em B e y2=-y1 temos
x2+y2+3=0 ;Longrightarrow; (6-x1)+(-y1)+3=0 ;Longrightarrow; 9 - x1 - y1 = 0 ;Longrightarrow; x1 + y1 = 9
Agora resolvemos o sistema para A:
2x1 - y1 = 2, x1 + y1 = 9
Somando as duas equações:
2x1 - y1 + x1 + y1 = 2 + 9 ;Longrightarrow; 3x1 = 11 ;Longrightarrow; x1 = 113,
y1 = 9 - x1 = 9 - 113 = 163
Logo
A = l(tfrac113,,tfrac163r), B = l(6 - tfrac113,,-tfrac163r) = l(tfrac73,,-tfrac163r)

Passo 4

O vetor diretor de AB é
AB = l(tfrac73-tfrac113,,-tfrac163-tfrac163r) = l(-tfrac43,,-tfrac323r) = -tfrac43,(1,8)
Portanto, uma direção conveniente é (1,8). Como P(3,0) fica na reta, usamos a forma ponto–direção:
y - 0 = 8,(x - 3) Longrightarrow y = 8x - 24

Resposta

A equação da reta suporte é
y = 8x - 24,
ou, na forma geral,
8x - y - 24 = 0

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