Para que valores de a a interseção da reta y=a(x+2) com a reta y=-x+2 se dá no primeiro quadrante?

Passo 1

O enunciado pede para achar os valores de a tais que a interseção das retas
y = a(x+2)
e
y = -x + 2
caia dentro do primeiro quadrante, ou seja, o ponto de interseção (x,y) deve satisfazer x>0 e y>0. Vamos usar geometria analítica: resolver o sistema para obter (x,y) em função de a, e depois impor as desigualdades de positividade.

Passo 2

Para encontrar a abscissa x do ponto de interseção, igualamos as duas expressões de y:
a(x+2) = -x + 2
Reorganizando termos:
ax + 2a = -x + 2 Longrightarrow (a+1)x = 2 - 2a Longrightarrow x = 2(1 - a)a + 1,
com a neq -1.

Passo 3

Em seguida, usamos y = a(x+2) para obter a ordenada:
x + 2 = 2(1 - a)a + 1 + 2 = 2(1 - a) + 2(a+1)a+1 = 4a+1,
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y = a,(x+2) = 4aa+1

Passo 4

Agora impomos x>0:
x>0 Long<=ftrightarrow 2(1 - a)a + 1 > 0 Long<=ftrightarrow 1 - aa + 1 > 0
Fazendo o estudo de sinais, concluímos que isso ocorre quando
-1 < a < 1

Passo 5

E impomos y>0:
y>0 Long<=ftrightarrow 4aa+1 > 0 Long<=ftrightarrow aa+1 > 0
Analisando os sinais, obtemos
a < -1 ou a > 0

Passo 6

Para que o ponto esteja no primeiro quadrante precisamos simultaneamente
-1 < a < 1 e l(a < -1 ;ou; a > 0r)
A interseção dessas condições é
0 < a < 1
Verificamos também que em a=0 temos y=0 (eixo x) e em a=1 temos x=0 (eixo y), então precisamos de desigualdade estrita.

Resposta

0 < a < 1

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