Uma equipe brasileira de automobilismo tem 4 pilotos de diferentes nacionalidades, sendo um único brasileiro. Ela dispõe de 4 carros, de cores distintas, dos quais somente um foi fabricado no Brasil. Sabendo que obrigatoriamente ela deve inscrever, em cada corrida, pelo menos um piloto ou carro brasileiros, qual é o número de inscrições diferentes que ela pode fazer, para uma corrida da qual irá participar com 3 carros?

Passo 1

O enunciado diz que há quatro pilotos distintos (sendo um brasileiro) e quatro carros distintos (sendo um brasileiro). Para cada corrida a equipe escolhe exatamente três carros e escala três pilotos, um em cada carro. Queremos contar de quantas maneiras isso pode ser feito, sob a condição de que entre os três carros ou três pilotos haja pelo menos um elemento brasileiro. Este é um problema de contagem usando o princípio multiplicativo e complemento.

Passo 2

Contagem sem restrição:
  • Escolher 3 carros dentre 4: binom43.
  • Escolher 3 pilotos dentre 4: binom43.
  • Distribuir os 3 pilotos nos 3 carros (permutação): 3!.
    Pelo princípio multiplicativo, o total é
binom43timesbinom43times 3! ;=;4times4times6 ;=;96

Passo 3

Contar quantas inscrições não têm nenhum brasileiro (nem carro nem piloto):
  • Só usar 3 carros não brasileiros: binom33=1.
  • Só usar 3 pilotos não brasileiros: binom33=1.
  • Permutar esses 3 pilotos entre os 3 carros: 3!=6.
    Logo, sem nenhum brasileiro há 1times1times6=6 inscrições.

Passo 4

Usando complemento, o número de inscrições que têm pelo menos um carro ou piloto brasileiro é
96 - 6 ;=;90

Resposta

90

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