Sabe-se que o número total de vértices de um dodecaedro regular é 20 e que as faces são pentágonos. Quantas retas ligam dois vértices do dodecaedro, não pertencentes à mesma face?
Passo 1
O enunciado dá um dodecaedro regular com
vértices e
faces pentagonais. Queremos contar o número de retas que ligam dois vértices que não pertencem à mesma face, isto é, todos os pares de vértices exceto aqueles que ficam juntos em algum pentágono.
Passo 2
O total de pares de vértices num conjunto de
vértices é dado por
Passo 3
Vamos contar quantos pares de vértices estão na mesma face. Cada face é um pentágono, que tem
pares de vértices. Se somássemos
, contaríamos as arestas em dobro, pois cada aresta pertence a duas faces, enquanto cada diagonal de pentágono pertence a apenas uma. Portanto:
— Número de arestas do dodecaedro:
. Cada aresta corresponde a um par de vértices contado duas vezes na soma bruta, mas queremos pares únicos, então são
desses pares.
— Cada pentágono tem diagonais internas, totalizando
pares de diagonais (contados uma única vez).
— Cada pentágono tem
Logo, o total de pares únicos de vértices que pertencem a alguma face é
Passo 4
Subtraindo os pares na mesma face do total de pares, obtemos o número de retas que ligam vértices não pertencentes a nenhuma face comum: