Sabe-se que o número total de vértices de um dodecaedro regular é 20 e que as faces são pentágonos. Quantas retas ligam dois vértices do dodecaedro, não pertencentes à mesma face?

Passo 1

O enunciado dá um dodecaedro regular com V=20 vértices e F=12 faces pentagonais. Queremos contar o número de retas que ligam dois vértices que não pertencem à mesma face, isto é, todos os pares de vértices exceto aqueles que ficam juntos em algum pentágono.

Passo 2

O total de pares de vértices num conjunto de 20 vértices é dado por
binom202 = 190

Passo 3

Vamos contar quantos pares de vértices estão na mesma face. Cada face é um pentágono, que tem
binom52 = 10
pares de vértices. Se somássemos 12times10=120, contaríamos as arestas em dobro, pois cada aresta pertence a duas faces, enquanto cada diagonal de pentágono pertence a apenas uma. Portanto:
— Número de arestas do dodecaedro: 30. Cada aresta corresponde a um par de vértices contado duas vezes na soma bruta, mas queremos pares únicos, então são 30 desses pares.
— Cada pentágono tem binom52-5=5 diagonais internas, totalizando 12times5=60 pares de diagonais (contados uma única vez).
Logo, o total de pares únicos de vértices que pertencem a alguma face é
30 + 60 = 90

Passo 4

Subtraindo os pares na mesma face do total de pares, obtemos o número de retas que ligam vértices não pertencentes a nenhuma face comum:
190 - 90 = 100

Resposta

100

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