Esboçando triângulos, reescreva as expressões abaixo em função de x.
b) sen(arccos (3 x))

Passo 1

O enunciado pede para reescrever
sin(arccos(3x))
em função de x, usando um triângulo retângulo para interpretar a composição de funções trigonométricas. Vamos usar a definição de arccos e a relação de Pitágoras.

Passo 2

Defina theta = arccos(3x). Por definição de arco-cosseno,
cos(theta) = 3x,
com thetain[0,pi]. Em um triângulo retângulo cuja hipotenusa vale 1 e cujo cateto adjacente ao ângulo theta vale 3x, podemos desenhar:
  • hipotenusa =1,
  • cateto adjacente =3x.

Passo 3

Pelo teorema de Pitágoras, o cateto oposto mede
raiz1^2 - (3x)^2 = raiz1 - 9x^2
Para que a raiz faça sentido real, precisamos de 1-9x^2>=0, ou seja lvert xrvert<=13.

Passo 4

Como thetain[0,pi], tem-se sin(theta)>=0. Logo,
sin(theta) =cateto opostohipotenusa =raiz1-9x^2
Substituindo theta=arccos(3x), concluímos

Resposta

sinl(arccos(3x)r)=raiz1-9x^2, lvert xrvert<= tfrac13

Exercícios de Livros Relacionados