Para definir a função arco cotangente, restringimos o domínio da função cotangente ao intervalo (0, pi) e invertemos essa função. Assim, f(x)=arccot(x) tem domínio R e conjunto imagem (0, pi). Trace o gráfico do arco cotangente para -5 <= x <= 5.
17. Para definir a função arco secante, invertemos a função secante após restringir seu domínio a [0, pi2) cup(pi2, pi]. Com isso, a função f(x)=arcsec(x) tem domínio (-infty,-1] cup[1, infty) e conjunto imagem [0, pi2) cup(pi2, pi]. Trace o gráfico do arco secante para x in[-5,-1] cup[1,5].

Passo 1

O enunciado pede para desenhar, no mesmo plano, duas curvas:
y=arccot(x) para -5<= x<=5.
y=arcsec(x) para xin[-5,-1]cup[1,5].
Lembrando as definições:
arccot é a inversa de cot restrita a (0,pi), seu domínio é R e a imagem é (0,pi).
arcsec é a inversa de sec restrita a l[0,tfracpi2r)cupl(tfracpi2,pir], seu domínio é (-infty,-1]cup[1,infty) e a imagem é l[0,tfracpi2r)cupl(tfracpi2,pir].

Passo 2

Traçando y=arccot(x):
– Monótona decrescente de ytopi quando xto-infty até yto0 quando xto+infty.
– Assimptotas horizontais:
limxto-inftyarccot(x)=pi, limxto+inftyarccot(x)=0
– Pontos notáveis:
arccot(-5)=pi-arctan(5)approx1,77,
arccot(-1)=tfrac3pi4approx2,36,
arccot(0)=tfracpi2approx1,57,
arccot(1)=tfracpi4approx0,79,
arccot(5)=arctanl(tfrac15r)approx0,20.
Unindo esses pontos por uma curva suave decrescente, com as duas horizontais como guias.

Passo 3

Traçando y=arcsec(x):
A curva se divide em duas “ramificações” porque o domínio é (-infty,-1]cup[1,infty). Ambas tendem a y=tfracpi2 como assimptota horizontal.
Para x>=1:
– Monótona crescente de arcsec(1)=0 até limxto+inftyarcsec(x)=tfracpi2.
– Pontos:
arcsec(1)=0,
arcsec(2)=arccosl(tfrac12r)=tfracpi3approx1,05,
arcsec(5)=arccosl(tfrac15r)approx1,37.
Para x<=-1:
– Monótona decrescente de limxto-inftyarcsec(x)=tfracpi2 até arcsec(-1)=pi.
– Pontos:
arcsec(-5)=pi-arccosl(tfrac15r)approx1,77,
arcsec(-2)=pi-arccosl(tfrac12r)=tfrac2pi3approx2,09,
arcsec(-1)=pi.
Ligando esses pontos por curvas suaves, obtemos a ramificação direita (de baixo para cima) e a esquerda (do meio para cima).

Resposta

O esboço final no plano xy fica assim:
  1. A curva y=arccot(x): decrescente, passando por
    (-5,1,77),,(-1,2,36),,(0,1,57),,(1,0,79),,(5,0,20),
    com assimptotas horizontais em y=0 e y=pi.
  2. A curva y=arcsec(x) desenha duas ramificações:
    • Para xin[1,5], crescente de (1,0) a (5,1,37) e aproximando-se de y=tfracpi2.
    • Para xin[-5,-1], decrescente de (-5,1,77) a (-1,pi) e aproximando-se de y=tfracpi2.
Esses dois desenhos, juntos, são o esboço pedido.

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