Esboce algumas das curvas de nível associadas com a função indicada.
Passo 1
O enunciado pede para esboçar curvas de nível da função
Aqui o conteúdo é “curvas de nível” de uma função de duas variáveis: para cada valor
, a curva de nível é o conjunto de pontos
tais que
.
Passo 2
Antes de mais nada, temos que determinar o domínio de
. Como dentro da raiz deve dar algo não-negativo, exigimos
ou seja
Isso significa que a região onde
está definida é a parte do plano fora da “região de centro” limitada pela hipérbole
: há dois ramos, um para
e outro para
.
Passo 3
Agora escrevemos a equação geral da curva de nível
:
Como
, o termo
varia de 1 (quando
) até infinito. São todas hipérboles de ramo horizontal, com assinatura “
”.
Passo 4
Para ter uma ideia concreta, vamos escolher alguns valores de
:
-
: é a hipérbole básica com assimptotas. -
: -
:
A cada aumento de
a hipérbole “abre” mais, movendo-se para fora dos ramos originais.
Passo 5
Para esboçar, basta desenhar no mesmo sistema de eixos:
- As assimptotas
e — linhas-guia. - A hipérbole
cortando o eixo em . - A hipérbole
cortando em . - A hipérbole
cortando em .
Lembre-se de desenhar apenas os ramos que satisfazem
e
, pois no “meio” a função não está definida.
Resposta
As curvas de nível
são as hipérboles
com
, situadas nos ramos
e
, e tendo assimptotas
.