Esboce algumas das curvas de nível associadas com a função indicada.
f(x, y)=raizx^2-y^2-1

Passo 1

O enunciado pede para esboçar curvas de nível da função
f(x,y)=raizx^2-y^2-1
Aqui o conteúdo é “curvas de nível” de uma função de duas variáveis: para cada valor k>=0, a curva de nível é o conjunto de pontos (x,y) tais que f(x,y)=k.

Passo 2

Antes de mais nada, temos que determinar o domínio de f. Como dentro da raiz deve dar algo não-negativo, exigimos
x^2-y^2-1>=0
ou seja
x^2-y^2>=1
Isso significa que a região onde f está definida é a parte do plano fora da “região de centro” limitada pela hipérbole x^2-y^2=1: há dois ramos, um para x>=1 e outro para x<=-1.

Passo 3

Agora escrevemos a equação geral da curva de nível k:
f(x,y)=k ;Longrightarrow; raizx^2-y^2-1=k ;Longrightarrow; x^2-y^2-1=k^2 ;Longrightarrow; x^2-y^2=1+k^2
Como k>=0, o termo 1+k^2 varia de 1 (quando k=0) até infinito. São todas hipérboles de ramo horizontal, com assinatura “ x^2 - y^2 = const”.

Passo 4

Para ter uma ideia concreta, vamos escolher alguns valores de k:
  • k=0:
    x^2-y^2=1
    é a hipérbole básica com assimptotas y=pm x.
  • k=1:
    x^2-y^2=2
  • k=2:
    x^2-y^2=5
A cada aumento de k a hipérbole “abre” mais, movendo-se para fora dos ramos originais.

Passo 5

Para esboçar, basta desenhar no mesmo sistema de eixos:
  1. As assimptotas y= x e y=-x — linhas-guia.
  2. A hipérbole x^2-y^2=1 cortando o eixo x em (pm1,0).
  3. A hipérbole x^2-y^2=2 cortando em (pmraiz2,0).
  4. A hipérbole x^2-y^2=5 cortando em (pmraiz5,0).
Lembre-se de desenhar apenas os ramos que satisfazem x>=1 e x<=-1, pois no “meio” a função não está definida.

Resposta

As curvas de nível f(x,y)=k são as hipérboles
x^2-y^2=1+k^2,
com k=0,1,2,dots, situadas nos ramos x>=1 e x<=-1, e tendo assimptotas y=pm x.

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