Esboce as curvas e calcule as áreas das regiões que elas delimitam.
y=x^4-2 x^2, y=2 x^2.

Passo 1

Resumindo o enunciado, temos as curvas ;y=x^4-2x^2; e ;y=2x^2;. O objetivo é esboçar esses gráficos e encontrar a área das regiões fechadas que surgem entre elas. Vamos precisar achar pontos de interseção e depois usar integração para calcular área entre curvas.

Passo 2

Calculamos os pontos de interseção resolvendo
x^4-2x^2 = 2x^2
Reorganizando,
x^4 -4x^2 = 0 ;Longrightarrow; x^2(x^2-4)=0,
logo x=0 ou x=pm 2. Esses valores geram os pontos de interseção (0,0) e (pm 2,8).

Passo 3

Esboço qualitativo:
  • A curva y=2x^2 é uma parábola com vértice em (0,0) que cresce para cima.
  • A curva y=x^4-2x^2 é uma quártica que tem zeros em x=0 e x=pmraiz2, fica negativa em -raiz2<x<raiz2 e cresce para +infty fora desse intervalo, passando pelos pontos (pm2,8).
    Isso forma dois laços fechados simétricos: um para xin[0,2] e outro para xin[-2,0].

Passo 4

Para xin[0,2], a diferença entre as funções é
yparábola - yquártica = 2x^2 - (x^4-2x^2) = 4x^2 - x^4 áá
Como 4x^2 - x^4 = x^2(4-x^2)>=0 em [0,2], concluímos que a parábola está acima da quártica nesse intervalo.

Passo 5

A área de um laço (por exemplo, o direito) é
Alaço = integral0^2 l[2x^2 - (x^4-2x^2)r],dx = integral0^2 (4x^2 - x^4),dx ç
Calculamos separadamente:
integral0^24x^2,dx = 4x^33|0^2 = 323, integral0^2x^4,dx = x^55|0^2 = 325,
portanto
Alaço = 323 - 325 = 32(5-3)15 = 6415 ç

Passo 6

Como o laço esquerdo tem área idêntica, a área total das duas regiões é
Atotal = 2 times 6415 = 12815

Resposta

A área de cada laço é tfrac6415 e a área total das duas regiões é tfrac12815.

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