Esboce as curvas e calcule as áreas das regiões que elas delimitam. .
Passo 1
Resumindo o enunciado, temos as curvas e . O objetivo é esboçar esses gráficos e encontrar a área das regiões fechadas que surgem entre elas. Vamos precisar achar pontos de interseção e depois usar integração para calcular área entre curvas.
Passo 2
Calculamos os pontos de interseção resolvendo
Reorganizando,
logo ou . Esses valores geram os pontos de interseção e .
Passo 3
Esboço qualitativo:
A curva é uma parábola com vértice em que cresce para cima.
A curva é uma quártica que tem zeros em e , fica negativa em e cresce para fora desse intervalo, passando pelos pontos .
Isso forma dois laços fechados simétricos: um para e outro para .
Passo 4
Para , a diferença entre as funções é
Como em , concluímos que a parábola está acima da quártica nesse intervalo.
Passo 5
A área de um laço (por exemplo, o direito) é
Calculamos separadamente:
portanto
Alaço = 323 - 325 = 32(5-3)15 = 6415 ç
Passo 6
Como o laço esquerdo tem área idêntica, a área total das duas regiões é
Atotal = 2 times 6415 = 12815
Resposta
A área de cada laço é tfrac6415 e a área total das duas regiões é tfrac12815.
Cálculo - Simmons - Cálculo com Geometria Analitica - Vol 1 - 1ª Edição - Capítulo 7.Problemas Suplementares do Capítulo 7 - Ex. 3