Esboce as curvas e calcule as áreas das regiões que elas delimitam.
y=x^2-2 x-3, y=2 x+2.

Passo 1

O enunciado pede para esboçar as curvas ,y=x^2-2x-3 (parábola) e ,y=2x+2 (reta) e calcular a área da região fechada por elas. O conteúdo é “área entre curvas”, que resolvemos integrando a diferença entre as funções no intervalo onde elas se interceptam.

Passo 2

Encontramos os pontos de interseção resolvendo
x^2-2x-3 = 2x+2
que leva a
x^2-4x-5=0,
cuja solução é x=-1 e x=5. Assim, os pontos de interseção são (-1,0) e (5,12).

Passo 3

Para o esboço, note que a parábola abre para cima com vértice em x=1, y=1-2-3=-4, e a reta tem coeficiente angular 2 e intercepto em y=2. Entre x=-1 e x=5 a reta fica acima da parábola (por exemplo, em x=0 temos yreta=2 e yparábola=-3á).

Passo 4

A área A entre as curvas é dada por
A = integral-1^5l[(2x+2)-(x^2-2x-3)r],dx = integral-1^5l(-x^2+4x+5r),dx

Passo 5

Uma antiderivada de -x^2+4x+5 é
-tfracx^33 + 2x^2 + 5x
Logo,
A = l[-tfracx^33 + 2x^2 + 5xr]-1^5 = l(-tfrac1253+50+25r) - l(-l(-tfrac13+2-5r)r) = tfrac1003-l(-tfrac83r) = tfrac1083 = 36

Resposta

A área da região delimitada pelas curvas é 36.

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