Esboce as curvas e calcule as áreas das regiões que elas delimitam.
y^2=x^3, x=4.

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pela curva
y^2=x^3
e pela reta vertical
x=4
O conteúdo usado será o cálculo de área entre curvas, integrando em x.

Passo 2

Primeiro isolamos y:
y=pm x^3/2
Essa curva é simétrica em torno do eixo x, tem cúspide em (0,0) e, em x=4, atinge os pontos
(4,,8)e(4,,-8)
Esboço qualitativo: a “braço” superior y=+x^3/2 e o inferior y=-x^3/2, abertos para a direita, e a reta vertical em x=4.

Passo 3

A região buscada é
l(x,y)mid 0<= x<= 4,;-x^3/2<= y<= x^3/2r,
pois a curva fecha a região à esquerda (cúspide em x=0) e a reta fecha à direita em x=4.

Passo 4

A área A é dada por
A=integralx=0^4l(ytopo-yfundor),dx =integral0^4l(x^3/2-(-x^3/2)r),dx =2integral0^4x^3/2,dx

Passo 5

Calculamos a integral:
integral x^3/2,dx =x^5/25/2 =25,x^5/2
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A =2cdot25l[x^5/2r]0^4 =45cdot 4^5/2 =45cdot 32 =1285

Resposta

1285

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