3-4 Esboce o gráfico da função.
(f(x, y)=1-y^{2})

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico da função
z = f(x,y) = 1 - y^2
Isso é uma superfície em \mathbb{R}^3; vamos interpretá-la como um conjunto de curvas e retas para montar o esboço.

Passo 2

Considere uma secção por um plano de equação x = x_0 (paralelo ao plano yz). Nesse plano temos
z = 1 - y^2,
que é uma parábola no sistema (y,z) com vértice em (0,1) e concavidade para baixo.

Passo 3

Considere agora uma secção por um plano de equação y = y_0 (paralelo ao plano xz). Nesse plano obtemos
z = 1 - y_0^2,
ou seja, uma reta paralela ao eixo x no nível z = 1 - y_0^2.

Passo 4

Reunindo essas secções, vemos que a superfície é a reunião de todas as parábolas do passo 2 deslocadas ao longo do eixo x. Logo, trata-se de um cilindro parabólico com eixo paralelo ao eixo x.

Passo 5

Para esboçar:
– Marque o vértice de cada parábola em (x, y, z) = (x,0,1) para vários x.
– Desenhe parábolas no plano x=0: em y=\pm1 temos z=0, em y=\pm2 temos z=-3, etc.
– “Deslize” essas parábolas ao longo de x, mantendo a mesma forma.

Resposta

O gráfico de \,f(x,y)=1-y^2 é um cilindro parabólico com eixo paralelo ao eixo x, vértice ao longo da reta \bigl\{(x,0,1)\mid x\in\mathbb{R}\bigr\} e aberturas para baixo na direção do eixo y.

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