Esboce os gráficos dos seguintes polinômios, dando atenção especial à localização de seus zeros e a seu comportamento para valores grandes de x :
y=(1-x)(2-x)(3-x);

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico do polinômio
y = (1 - x)(2 - x)(3 - x)
dando atenção aos seus zeros e ao comportamento para xtopminfty. Trata-se de um polinômio de grau 3, cujos zeros e end behavior vamos determinar para desenhar o esboço.

Passo 2

Para encontrar os zeros, basta igualar cada fator a zero:
1 - x = 0 implies x = 1,
2 - x = 0 implies x = 2,
3 - x = 0 implies x = 3
Logo, as raízes são x=1, x=2 e x=3, todas de multiplicidade 1 (Cruza o eixo em cada uma).

Passo 3

Para o comportamento em xtopminfty podemos ver o termo dominante. Reescrevendo
y = (1-x)(2-x)(3-x) = -,(x-1)(x-2)(x-3),
o termo de maior grau é -x^3. Assim,
limxto+inftyy = -infty, limxto-inftyy = +infty

Passo 4

Analisamos o sinal de y nos intervalos determinados pelos zeros:
  • Para x<1, ex.: x=0: (1)(2)(3)>0, logo y>0.
  • Entre 1 e 2, ex.: x=1,5: (1-1,5)<0,;(2-1,5)>0,;(3-1,5)>0 implies y<0.
  • Entre 2 e 3, ex.: x=2,5: dois fatores negativos e um positivo implies y>0.
  • Para x>3, ex.: x=4: três fatores negativos implies y<0.

Passo 5

Com esses dados temos o esboço qualitativo:
começa em +infty para xto-infty, cruza o eixo em x=1 descendo, atinge um mínimo entre 1 e 2, volta a cruzar em x=2 subindo até um máximo entre 2 e 3, cruza de novo em x=3 descendo e vai para -infty em xto+infty.

Resposta

O gráfico de y=(1-x)(2-x)(3-x) é um cubo com coeficiente líder negativo, cruza o eixo x em 1,2,3 (sempre trocando de sinal) e satisfaz
yto +infty quando xto -infty, yto -infty quando xto +infty

Exercícios de Livros Relacionados