Esboce um triângulo retângulo com um ângulo agudo que satisfaça a medida a seguir. Em seguida, encontre as cinco funções trigonométricas que faltam em cada caso.
sen(theta)=45

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos um triângulo retângulo com um ângulo agudo theta tal que sen(theta)=tfrac45. Precisamos esboçar esse triângulo e calcular as outras cinco funções trigonométricas: cos(theta), tan(theta), cot(theta), sec(theta) e csc(theta). Vamos usar as definições de cada função e o Teorema de Pitágoras.

Passo 2

Como sen(theta)=tfrac45 significa que o cateto oposto a theta mede 4 unidades e a hipotenusa mede 5 unidades, desenhamos um triângulo retângulo com essas medidas.
Para encontrar o cateto adjacente, aplicamos o Teorema de Pitágoras:
adj = raiz5^2 - 4^2 = raiz25 - 16 = 3
Agora o triângulo é de lados 3, 4 e 5.

Passo 3

Pela definição de cosseno,
cos(theta) = cateto adjacentehipotenusa = 35
Pela definição de tangente,
tan(theta) = cateto opostocateto adjacente = 43,
e como cot(theta) é o recíproco de tan(theta),
cot(theta) = 1tan(theta) = 34

Passo 4

Finalmente, usamos os recíprocos de cos e sen:
sec(theta) = 1cos(theta) = 53, csc(theta) = 1sen(theta) = 54

Resposta

cos(theta) = tfrac35
tan(theta) = tfrac43
cot(theta) = tfrac34
sec(theta) = tfrac53
csc(theta) = tfrac54

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