Em um triângulo retângulo, a hipotenusa mede 2 raiz5 e um ângulo interno alpha é tal que cos (alpha)=raiz5 / 3. Determine as medidas dos catetos.

Passo 1

Temos um triângulo retângulo em que a hipotenusa mede 2raiz5 e um ângulo agudo alpha satisfaz cos(alpha)=raiz53. O que precisamos é usar as definições trigonômétricas no triângulo retângulo, ou seja,
cos(alpha)=cateto adjacentehipotenusa e
sin(alpha)=cateto opostohipotenusa.

Passo 2

Aplicando a definição de cosseno para achar o cateto adjacente a alpha:
cateto adjacente = hipotenusatimescos(alpha) = 2raiz5timesraiz53 = 2cdot53 = 103

Passo 3

Para encontrar o cateto oposto, primeiro calculamos
sin(alpha) = raiz1-cos^2(alpha) = raiz1-l(raiz53r)^2 = raiz1-59 = 23
Logo,
cateto oposto = hipotenusatimessin(alpha) = 2raiz5times23 = 4raiz53

Resposta

Os comprimentos dos catetos são 103 e 4raiz53.

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