Escreva a equação da mediatriz do segmento A B, onde A=(-1,2) e B=(3,1). Faça o gráfico.

Passo 1

O enunciado pede a equação da mediatriz do segmento com extremos A=(-1,2) e B=(3,1). Em Geometria Analítica, para achar a mediatriz, a gente precisa:
  1. Calcular o ponto médio M de AB (usando a fórmula do ponto médio).
  2. Determinar o coeficiente angular de AB e, a partir dele, o coeficiente angular da reta perpendicular.
  3. Usar o ponto M e o coeficiente angular da perpendicular para montar a equação da mediatriz.

Passo 2

Calcular o ponto médio M de A e B. A fórmula é
M = l(xA + xB2,,yA + yB2r)
Substituindo A=(-1,2) e B=(3,1), obtemos
M = l(-1 + 32,,2 + 12r) = (1,;1,5)

Passo 3

Determinar o coeficiente angular de AB:
mAB = yB - yAxB - xA = 1 - 23 - (-1) = -14 = -tfrac14
A mediatriz é perpendicular a AB, logo seu coeficiente angular é o negativo do inverso:
mperp = 4
Agora, usamos a forma ponto-declive para a reta que passa por M=(1,1,5) com declive 4:
y - 1,5 = 4,(x - 1)
Expandindo,
y - 1,5 = 4x - 4 Longrightarrow y = 4x - 4 + 1,5 Longrightarrow y = 4x - 2,5

Passo 4

Esboço do gráfico:
  • Marque os pontos A=(-1,2), B=(3,1) e o ponto médio M=(1,1,5).
  • A mediatriz tem equação y=4x-2,5. Para esboçar, basta achar mais um ponto da reta, por exemplo:
    ,x=0implies y=-2,5 e ,x=2implies y=5,5.
  • Conecte esses pontos para traçar a reta perpendicular que passa por M.

Resposta

A equação da mediatriz de AB é
y = 4x - tfrac52

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